Problema 7 Dada a EDO linear
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
Na parte (b) precisamos usar o princípio da superposição para obter pelo menos duas soluções que não sejam as duas já fornecidas pelo enunciado. Vamos lembrar que, em EDOs lineares homogêneas, qualquer combinação linear de soluções também é solução.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
que é um polinômio cúbico.
Passo 3
Fatorando a equação característica, vemos que as raízes são
,
e
. Assim, as três soluções fundamentais são
Passo 4
Pelo princípio da superposição, qualquer combinação linear dessas soluções também é solução. Como as duas soluções dadas no enunciado são
e
, podemos exibir duas soluções diferentes delas escolhendo, por exemplo:
- a própria solução fundamental
; - uma combinação linear não-trivial de
e , por exemplo .
Ambas satisfazem a EDO original.