Problema 7 Dada a EDO linear
y^prime prime prime-6 y^prime prime+11 y^prime-6 y=0
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''-6y''+11y'-6y=0
Na parte (b) precisamos usar o princípio da superposição para obter pelo menos duas soluções que não sejam as duas já fornecidas pelo enunciado. Vamos lembrar que, em EDOs lineares homogêneas, qualquer combinação linear de soluções também é solução.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^rx. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^3-6r^2+11r-6=0
que é um polinômio cúbico.

Passo 3

Fatorando a equação característica, vemos que as raízes são r=1, r=2 e r=3. Assim, as três soluções fundamentais são
y1(x)=e^x, y2(x)=e^2x, y3(x)=e^3x

Passo 4

Pelo princípio da superposição, qualquer combinação linear dessas soluções também é solução. Como as duas soluções dadas no enunciado são y1 e y2, podemos exibir duas soluções diferentes delas escolhendo, por exemplo:
  • a própria solução fundamental y3(x)=e^3x;
  • uma combinação linear não-trivial de y1 e y2, por exemplo y4(x)=e^x+e^2x.
    Ambas satisfazem a EDO original.

Resposta

y3(x)=e^3x, y4(x)=e^x+e^2x.

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