Considere a transformada de Laplace de
, em que
.
Seja
um inteiro positivo
no item (a); mostre que
Seja
Passo 1
O exercício pede a transformada de Laplace de
com
inteiro positivo. Vamos usar a definição integral de transformada de Laplace e a função Gamma para chegar ao resultado.
Passo 2
Pela definição de Laplace, escrevemos
. Essa integral imprópria converge desde que
.
Passo 3
Para calcular essa integral, fazemos a mudança de variável
, de modo que
e
. Substituindo na integral, obtemos:
[\n\int_{0}{\infty}e{-st}tn\,dt\n=\int_{0}{\infty}e{-u}\bigl(\tfrac{u}{s}\bigr)n\tfrac{du}{s}\n=\frac{1}{s{n+1}}\int_{0}{\infty}e{-u}un\,du.\n]
[\n\int_{0}{\infty}e{-st}tn\,dt\n=\int_{0}{\infty}e{-u}\bigl(\tfrac{u}{s}\bigr)n\tfrac{du}{s}\n=\frac{1}{s{n+1}}\int_{0}{\infty}e{-u}un\,du.\n]
Passo 4
A integral
é a definição de
. Para
inteiro positivo,
. Logo chegamos ao resultado final:
[\n\mathcal{L}{tn}=\frac{n!}{s{n+1}}.\n]
[\n\mathcal{L}{tn}=\frac{n!}{s{n+1}}.\n]