Considere a transformada de Laplace de t^p, em que p>-1.
Seja p um inteiro positivo n no item (a); mostre que
Lt^n=n!s^n+1, s>0

Passo 1

O exercício pede a transformada de Laplace de t^n com n inteiro positivo. Vamos usar a definição integral de transformada de Laplace e a função Gamma para chegar ao resultado.

Passo 2

Pela definição de Laplace, escrevemos Lt^n=integral0^inftye^-st,t^n,dt. Essa integral imprópria converge desde que s>0.

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos a mudança de variável u=s,t, de modo que t=u/s e dt=du/s. Substituindo na integral, obtemos:
[\n\int_{0}{\infty}e{-st}tn\,dt\n=\int_{0}{\infty}e{-u}\bigl(\tfrac{u}{s}\bigr)n\tfrac{du}{s}\n=\frac{1}{s{n+1}}\int_{0}{\infty}e{-u}un\,du.\n]

Passo 4

A integral integral0^inftye^-uu^n,du é a definição de Gamma(n+1). Para n inteiro positivo, Gamma(n+1)=n!. Logo chegamos ao resultado final:
[\n\mathcal{L}{tn}=\frac{n!}{s{n+1}}.\n]

Resposta

n!s^n+1

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