(2,5 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de integração por partes.
I=integral-3 x^2 cos (-5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral integral -3x^2 cos(-5x) , dx usando o método de integração por partes. Aqui, precisamos entender um pouco de cálculo, especificamente sobre integrais e como a integração por partes funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que estamos integrando. Sabia que cos(-5x) é igual a cos(5x) porque o cosseno é uma função par? Então, nossa integral fica:
I = integral -3x^2 cos(5x) , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos identificar as partes u e dv na nossa integral. Geralmente, escolhemos u como a parte que se simplifica ao derivar.
Aqui, vamos escolher:
u = -3x^2 e dv = cos(5x) , dx

Passo 4

Vamos derivar u e integrar dv:
Derivada de u:
du = ddx(-3x^2) , dx = -6x , dx
Integral de dv:
v = integral cos(5x) , dx = sin(5x)5

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
I = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
I = (-3x^2) cdot ( sin(5x)5 ) - integral ( sin(5x)5 ) cdot (-6x) , dx
Simplificando:
I = -35x^2 sin(5x) + 65 integral x sin(5x) , dx

Passo 6

Ainda temos uma integral para resolver: integral x sin(5x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
u = x e dv = sin(5x) , dx
Derivando e integrando:
du = dx e v = -cos(5x)5

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral x sin(5x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x cdot ( -cos(5x)5 ) - integral ( -cos(5x)5 ) , dx
Simplificando:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx
Calculando a última integral:
= -x5 cos(5x) + 15 cdot sin(5x)5 + C
= -x5 cos(5x) + sin(5x)25 + C

Passo 8

Voltando ao passo anterior, substituímos o resultado da segunda integração por partes:
I = -35x^2 sin(5x) + 65 ( -x5 cos(5x) + sin(5x)25 ) + C
Distribuindo a 65:
I = -35x^2 sin(5x) - 6x25 cos(5x) + 6125 sin(5x) + C

Resposta

A integral resolvida é:
I = -35x^2 sin(5x) - 6x25 cos(5x) + 6125 sin(5x) + C

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