(2,5 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
usando o método de integração por partes. Aqui, precisamos entender um pouco de cálculo, especificamente sobre integrais e como a integração por partes funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que estamos integrando. Sabia que
é igual a
porque o cosseno é uma função par? Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
Precisamos identificar as partes
e
na nossa integral. Geralmente, escolhemos
como a parte que se simplifica ao derivar.
Aqui, vamos escolher:
Passo 4
Vamos derivar
e integrar
:
Derivada de
:
Integral de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 6
Ainda temos uma integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
Derivando e integrando:
Passo 7
Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Calculando a última integral:
Passo 8
Voltando ao passo anterior, substituímos o resultado da segunda integração por partes:
Distribuindo a
:
Resposta
A integral resolvida é: