Considere a função f(x)=sen x.
Encontre a série de Maclaurin da função f. Qual é o raio de convergência desta série?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Maclaurin para a função $ f(x) = \sin(x) $ e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas e usar a fórmula da série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que aproxima uma função em torno do ponto 0. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função $ f(x) $ é:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em 0, e $ n! $ é o fatorial de n.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin(x) $ e avaliá-las em 0. Sabemos que as derivadas da função seno se repetem a cada quatro passos:
f(x) = sin(x)
Então, avaliando em 0:
f(x) &= sin(x) f'(x) &= cos(x) f''(x) &= -sin(x) f'''(x) &= -cos(x) f''''(x) &= sin(x)
E esse padrão se repete a cada quatro derivadas.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Considerando os valores das derivadas que calculamos, vemos que apenas as derivadas ímpares (1ª, 3ª, etc.) não são zero:
sin(x) = f'(0)1!x - f'''(0)3!x^3 + f^(5)(0)5!x^5 - cdots
Substituindo os valores:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - cdots

Passo 5

Simplificando a expressão, a série de Maclaurin para $ \sin(x) $ fica:
sin(x)
Aqui, $ k $ é um índice que começa em 0 e vai até o infinito, alternando os sinais e aumentando a potência de $ x $ de forma ímpar, dividida pelo fatorial correspondente.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, podemos usar o teste da razão. Vamos considerar o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde $ a_k = (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $. Calculando:
Tomando o valor absoluto e o limite quando $ k $ vai para o infinito:
ak = (-1)^k x^2k+1(2k+1)!
Como $ L = 0 < 1 $, a série converge para qualquer valor de $ x $. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para $ \sin(x) $ é:
sin(x)
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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