Considere a função
.
Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função
.
Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente encontrar uma série que represente a função $ g(x) = \sin(x^3) $. Estamos lidando com funções trigonométricas e séries de potências, especificamente a série de Taylor da função seno. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função $ \sin(x) $ e adaptar para $ \sin(x^3) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para $ \sin(x) $. A série de Taylor de $ \sin(x) $ em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos escrever $ \sin(x) $ como uma soma infinita de termos que envolvem potências ímpares de $ x $.
Passo 3
Agora, queremos adaptar essa série para representar $ \sin(x^3) $. Para fazer isso, vamos substituir $ x $ por $ x^3 $ na série de Taylor de $ \sin(x) $. Ou seja, onde vemos $ x $ na série original, vamos colocar $ x^3 $.
Então, substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão $ (x3){2n+1} $. Quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na série, temos:
Isso nos dá a série de potências que representa $ \sin(x^3) $.
Resposta
A série que representa a função $ g(x) = \sin(x^3) $ é: