Para as séries de potencias a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
(2.5) sumn=1^infty x^nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty x^nn^2+1
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma potência de $ x $. Para descobrir onde essa série converge (ou seja, dá um resultado finito), vamos precisar usar alguns testes de convergência e entender conceitos como raio de convergência e intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência $ R $. Esse raio nos diz até onde podemos variar o valor de $ x $ para que a série continue convergindo. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências.
O Teste da Raiz funciona assim:
  1. Calculamos o limite $ L $ quando $ n $ tende ao infinito de $ |a_n|^{1/n} $, onde $ a_n $ é o termo geral da série.
  2. Se $ L < 1 $, a série converge.
  3. Se $ L > 1 $, a série diverge.
  4. Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Nossa série tem o termo geral:
R
Vamos aplicar o Teste da Raiz.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz:
L = limn to infty | x^nn^2+1 |^1/n = limn to infty |x|(n^2+1)^1/n
Agora, analisando o limite:
  • Sabemos que $ \lim_{n \to \infty} (n{2}+1){1/n} = 1 $ porque as potências de $ n $ divididas por $ n $ vão para 1.
  • Então, $ L = |x| $.
Para que a série convirja, precisamos que $ L < 1 $, ou seja:
limn to infty (n^2+1)^1/n = 1
Isso nos dá o raio de convergência $ R = 1 $.

Passo 4

Agora que sabemos que $ R = 1 $, precisamos determinar o intervalo de convergência, que é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a série converge. O intervalo vai de $ -R $ até $ R $, mas precisamos verificar os extremos $ x = -1 $ e $ x = 1 $ para ver se a série também converge nesses pontos.
Vamos verificar cada caso:
  1. Quando $ x = 1 $:
R = 1
Essa série se parece com a série $ \sum \frac{1}{n^{2}} $, que sabemos que converge (é uma série p com $ p = 2 > 1 $). Portanto, a série também converge em $ x = 1 $.
  1. Quando $ x = -1 $:
x
Essa é uma série alternada, onde os termos alternam entre positivos e negativos. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos $ b_n = \frac{1}{n^{2}+1} $ são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série converge.
  • $ b_n > 0 $ para todo $ n $.
  • $ b_n $ é decrescente porque $ n^{2}+1 $ aumenta com $ n $.
  • $ \lim_{n \to \infty} b_n = 0 $.
Portanto, a série também converge em $ x = -1 $.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ [-1, , 1] $.

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