Para as séries de potencias a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Matéria envolvida: Séries de potências, especificamente análise do raio e intervalo de convergência usando o Teste da Razão.
O que vamos precisar: Aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos para determinar o intervalo completo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno do ponto central da série (neste caso, $ x = 3 $), a série converge.
Para encontrar o raio de convergência ($ R $), usamos o Teste da Razão, que é dado por:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral $ a_n $ da nossa série:
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
Substituindo $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Isso simplifica para:
Como $ | -1 | = 1 $ e $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 $, temos:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Isso significa:
Passo 7
Essa desigualdade nos dá o raio de convergência:
E o intervalo de convergência inicialmente é:
Passo 8
Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo ($ x = -1 $ e $ x = 7 $) para ver se a série converge nesses pontos.
Para $ x = -1 $:
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para $ x = 7 $:
Substituindo na série:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 4 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 7 $.