Para as séries de potencias a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
(2.5) sumn=1^infty (-1)^n(x-3)^nn 4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n(x-3)^nn cdot 4^n
Matéria envolvida: Séries de potências, especificamente análise do raio e intervalo de convergência usando o Teste da Razão.
O que vamos precisar: Aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos para determinar o intervalo completo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno do ponto central da série (neste caso, $ x = 3 $), a série converge.
Para encontrar o raio de convergência ($ R $), usamos o Teste da Razão, que é dado por:
x = 3
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral $ a_n $ da nossa série:
an
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
an = (-1)^n(x-3)^nn cdot 4^n

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
an+1

Passo 5

Simplificando a expressão:
L = limn to infty | (-1)^n+1(-1)^n cdot (x-3)^n+1(x-3)^n cdot nn+1 cdot 4^n4^n+1 |
Isso simplifica para:
L = limn to infty | (-1) cdot (x-3) cdot nn+1 cdot 14 |
Como $ | -1 | = 1 $ e $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 $, temos:
| -1 | = 1

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso significa:
| (x-3)4 | < 1

Passo 7

Essa desigualdade nos dá o raio de convergência:
R = 4
E o intervalo de convergência inicialmente é:
3 - 4 < x < 3 + 4 implies -1 < x < 7

Passo 8

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo ($ x = -1 $ e $ x = 7 $) para ver se a série converge nesses pontos.
Para $ x = -1 $:
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para $ x = 7 $:
Substituindo na série:
x = -1
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 4 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 7 $.

Exercícios relacionados