Considere a função f(x)=\sqrt{2 x-1}+\frac{1}{x-3}.
Determine o domínio de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{2x-1}+\dfrac{1}{x-3} e pede: determinar o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada com radicando 2x-1.
  • Há uma fração com denominador x-3.
O que precisa ser analisado (lista das condições que virão dos itens acima):
  • O radicando da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero: 2x-1\ge 0.
  • O denominador da fração não pode ser zero: x-3\neq 0.

Passo 2

Entendendo a condição da raiz quadrada (aula curta): uma expressão do tipo \sqrt{\text{algo}} está definida nos números reais somente quando o “algo” é maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada real de um número negativo não existe. Portanto extraímos a desigualdade do radicando:
2x-1\ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Primeiro isolamos x:
2x\ge 1.
Como estamos dividindo ambos os lados por 2 (que é positivo), a desigualdade mantém o mesmo sentido:
x\ge \tfrac{1}{2}.
Logo, a contribuição da raiz quadrada ao domínio é o conjunto de todos os x tais que x\ge \tfrac{1}{2}, isto é, o intervalo \left[\tfrac{1}{2},\infty\right).

Passo 3

Entendendo a condição da fração (aula curta): uma expressão do tipo \dfrac{1}{x-3} está definida em todos os reais exceto onde o denominador é zero, porque divisão por zero não é permitida. Portanto exigimos:
x-3\neq 0.
Isto implica simplesmente
x\neq 3.
Então a fração elimina o ponto x=3 do domínio possível.

Passo 4

Agora combinamos as duas condições (interseção dos conjuntos): para que f(x) esteja definida precisamos que simultaneamente x\ge \tfrac{1}{2} e x\neq 3. Em palavras: todos os números reais a partir de \tfrac{1}{2}, exceto o 3 que está proibido pela fração.
Expressando isso em notação intervalar, removendo o ponto 3 de \left[\tfrac{1}{2},\infty\right), obtemos
\left[\tfrac{1}{2},3\right)\cup\left(3,\infty\right).

Passo 5

Cheque rápido com exemplos (para ganhar confiança):
  • x=\tfrac{1}{2}: \sqrt{2\cdot\tfrac{1}{2}-1}=\sqrt{0}=0 e x-3=-\tfrac{5}{2}\neq 0, logo definido.
  • x=1: radicando 2\cdot1-1=1\ge0 e denominador -2\neq0, definido.
  • x=3: radicando 2\cdot3-1=5\ge0 mas denominador 0 — divisão por zero — portanto x=3 não pertence ao domínio.

Resposta

\left[\tfrac{1}{2},3\right)\cup\left(3,\infty\right)

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