Considere a função
.
Determine o domínio de
.
Determine o domínio de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada com radicando
. - Há uma fração com denominador
.
O que precisa ser analisado (lista das condições que virão dos itens acima):
- O radicando da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
. - O denominador da fração não pode ser zero:
.
Passo 2
Entendendo a condição da raiz quadrada (aula curta): uma expressão do tipo
está definida nos números reais somente quando o “algo” é maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada real de um número negativo não existe. Portanto extraímos a desigualdade do radicando:
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Primeiro isolamos
:
Como estamos dividindo ambos os lados por
(que é positivo), a desigualdade mantém o mesmo sentido:
Logo, a contribuição da raiz quadrada ao domínio é o conjunto de todos os
tais que
, isto é, o intervalo
.
Passo 3
Entendendo a condição da fração (aula curta): uma expressão do tipo
está definida em todos os reais exceto onde o denominador é zero, porque divisão por zero não é permitida. Portanto exigimos:
Isto implica simplesmente
Então a fração elimina o ponto
do domínio possível.
Passo 4
Agora combinamos as duas condições (interseção dos conjuntos): para que
esteja definida precisamos que simultaneamente
e
. Em palavras: todos os números reais a partir de
, exceto o
que está proibido pela fração.
Expressando isso em notação intervalar, removendo o ponto
de
, obtemos
Passo 5
Cheque rápido com exemplos (para ganhar confiança):
-
: e , logo definido. -
: radicando e denominador , definido. -
: radicando mas denominador — divisão por zero — portanto não pertence ao domínio.