Resolva a inequação \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2} \leqslant 0 e escreva a solução na forma de intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2} \leqslant 0
e escrever a solução na forma de intervalos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função racional com numerador x^{2}-5x+6 e denominador x-2.
  • Como o denominador é x-2, o valor x=2 faz o denominador zero e, portanto, não pertence ao domínio da expressão (a desigualdade não pode ser avaliada em x=2).

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática do método que será aplicado).
  • Para resolver uma inequação do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)} \leqslant 0 (onde P e Q são polinômios) os passos são:
    1. Encontrar as raízes de P(x) (pontos onde o numerador é zero). Nesses pontos a fração pode valer zero (se o denominador for diferente de zero) — então podem entrar na solução quando a desigualdade permite igualdade.
    2. Encontrar as raízes de Q(x) (pontos onde o denominador é zero). Esses pontos são excluídos do domínio e nunca podem ser incluídos na solução.
    3. Usar as raízes encontradas para particionar a reta real em intervalos; em cada intervalo o sinal da fração é constante. Testar o sinal em cada intervalo (ou simplificar quando possível) para decidir se o intervalo satisfaz a desigualdade.
    4. Montar a solução como união dos intervalos que satisfazem a desigualdade, incluindo pontos onde a expressão vale zero (se permitidos) e excluindo pontos que anulam o denominador.
  • Vou aplicar exatamente esses passos ao caso concreto.

Passo 3

Fatorar o numerador para encontrar suas raízes.
Procuramos dois números cuja soma seja -5 e produto 6. Esses números são -2 e -3. Portanto:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 4

Escrever a fração usando a fatoração e observar cancelamento possível.
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}.
Para todo x diferente de 2 podemos simplificar cancelando o fator (x-2), obtendo
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=x-3\qquad\text{para }x\neq 2.
Importante: mesmo com o cancelamento algébrico, x=2 continua sendo um ponto proibido porque o denominador original é zero ali (há uma descontinuidade removível em x=2 — a expressão não está definida em x=2).

Passo 5

Reduzir a inequação usando a simplificação (válida para x\neq 2).
Para x\neq 2 a inequação é equivalente a
x-3 \leqslant 0.
Isto implica
x \leqslant 3.
Mas devemos lembrar de não permitir x=2 (ponto excluído). Assim, a condição para ser solução é x\leqslant 3 com x\neq 2.

Passo 6

Verificar inclusão/exclusão de pontos especiais e consistência com testes rápidos.
  • O ponto x=3: substituindo na expressão original, o numerador é zero e o denominador é 1, então a fração vale 0. Como a desigualdade é \leqslant 0, x=3 pertence à solução.
  • O ponto x=2: o denominador é zero, então x=2 não pertence ao domínio e deve ser excluído.
  • Para x>3 temos x-3>0 e a inequação não é satisfeita.
  • Para x<2 ou 2<x\leqslant 3 (com x\neq 2) temos x\leqslant 3 e a desigualdade é satisfeita.

Passo 7

Montar a solução em forma de intervalos, excluindo x=2 e incluindo 3.
A solução é a união dos intervalos (-\infty,2) e (2,3].

Resposta

(-\infty,2)\cup(2,3]

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