Resolva a inequação
e escreva a solução na forma de intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e escrever a solução na forma de intervalos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma função racional com numerador
e denominador . - Como o denominador é
, o valor faz o denominador zero e, portanto, não pertence ao domínio da expressão (a desigualdade não pode ser avaliada em ).
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática do método que será aplicado).
- Para resolver uma inequação do tipo
(onde e são polinômios) os passos são: - Encontrar as raízes de
(pontos onde o numerador é zero). Nesses pontos a fração pode valer zero (se o denominador for diferente de zero) — então podem entrar na solução quando a desigualdade permite igualdade. - Encontrar as raízes de
(pontos onde o denominador é zero). Esses pontos são excluídos do domínio e nunca podem ser incluídos na solução. - Usar as raízes encontradas para particionar a reta real em intervalos; em cada intervalo o sinal da fração é constante. Testar o sinal em cada intervalo (ou simplificar quando possível) para decidir se o intervalo satisfaz a desigualdade.
- Montar a solução como união dos intervalos que satisfazem a desigualdade, incluindo pontos onde a expressão vale zero (se permitidos) e excluindo pontos que anulam o denominador.
- Encontrar as raízes de
- Vou aplicar exatamente esses passos ao caso concreto.
Passo 3
Fatorar o numerador para encontrar suas raízes.
Procuramos dois números cuja soma seja e produto
. Esses números são
e
. Portanto:
Procuramos dois números cuja soma seja
Passo 4
Escrever a fração usando a fatoração e observar cancelamento possível.
Para todo
diferente de
podemos simplificar cancelando o fator
, obtendo
Importante: mesmo com o cancelamento algébrico,
continua sendo um ponto proibido porque o denominador original é zero ali (há uma descontinuidade removível em
— a expressão não está definida em
).
Passo 5
Reduzir a inequação usando a simplificação (válida para
).
Para a inequação é equivalente a
Para
Isto implica
Mas devemos lembrar de não permitir
(ponto excluído). Assim, a condição para ser solução é
com
.
Passo 6
Verificar inclusão/exclusão de pontos especiais e consistência com testes rápidos.
- O ponto
: substituindo na expressão original, o numerador é zero e o denominador é , então a fração vale . Como a desigualdade é , pertence à solução. - O ponto
: o denominador é zero, então não pertence ao domínio e deve ser excluído. - Para
temos e a inequação não é satisfeita. - Para
ou (com ) temos e a desigualdade é satisfeita.
Passo 7
Montar a solução em forma de intervalos, excluindo
e incluindo
.
A solução é a união dos intervalos e
.
A solução é a união dos intervalos