Sejam \vec{f} e \vec{g} funções vetoriais contínuas em um intervalo I. Mostrar que:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Dado: \vec{f} e \vec{g} são funções vetoriais contínuas em um intervalo I.
  • Pedido: mostrar uma propriedade sobre a função escalar obtida pelo produto escalar (dot product) de \vec{f} com \vec{g}. Especificamente, mostrar que a função
h:I\to\mathbb{R},\qquad h(t)=\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)
é contínua em I.

Passo 2

Vamos colocar as funções vetoriais em coordenadas (isso é só para manipular componente a componente). Suponha que as funções tenham dimensão n:
\vec{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),\dots,f_n(t)), \qquad \vec{g}(t)=(g_1(t),g_2(t),\dots,g_n(t)).
Como \vec{f} e \vec{g} são contínuas em I, cada componente f_i e g_i é uma função real contínua em I. (Isto é um fato padrão: continuidade de função vetorial equivale à continuidade componente a componente.)

Passo 3

Escrevemos o produto escalar usando as componentes:
h(t)=\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)=\sum_{i=1}^{n} f_i(t)\,g_i(t).
Logo, h é soma finita de funções da forma f_i g_i. Para concluir que h é contínua, basta mostrar que cada produto f_i g_i é contínuo e que soma finita de funções contínuas é contínua.

Passo 4

Mostrar que, para funções reais, o produto de duas funções contínuas é contínuo. Seja u e v funções reais contínuas em I. Queremos provar que w(t)=u(t)v(t) é contínua em qualquer ponto fixo t_0\in I.
Como u e v são contínuas em t_0, vale
\lim_{t\to t_0} u(t)=u(t_0),\qquad \lim_{t\to t_0} v(t)=v(t_0).
Pela propriedade dos limites (limite do produto é o produto dos limites), obtemos
\lim_{t\to t_0} u(t)v(t)=\left(\lim_{t\to t_0} u(t)\right)\left(\lim_{t\to t_0} v(t)\right)=u(t_0)v(t_0).
Portanto w é contínua em t_0. (Se preferir uma demonstração epsilônica: veja o Passo 5, que dá uma versão epsilônica curta para este argumento.)

Passo 5

Prova epsilônica curta (opcional, mas útil para prova “na prova”): seja \varepsilon>0. Tome t_0\in I. Como u é contínua em t_0, existe \delta_1>0 tal que |u(t)-u(t_0)|<1 sempre que |t-t_0|<\delta_1. Assim, para esses t temos |u(t)|\le |u(t_0)|+1=:M. Também, porque u e v são contínuas em t_0, existe \delta_2>0 tal que |u(t)-u(t_0)|<\dfrac{\varepsilon}{4(|v(t_0)|+1)} e |v(t)-v(t_0)|<\dfrac{\varepsilon}{2M} sempre que |t-t_0|<\delta_2. Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} obtemos, para |t-t_0|<\delta,
\begin{aligned} |u(t)v(t)-u(t_0)v(t_0)| &=|u(t)(v(t)-v(t_0))+v(t_0)(u(t)-u(t_0))|\\\ &\le |u(t)|\,|v(t)-v(t_0)| + |v(t_0)|\,|u(t)-u(t_0)|\\\ &\le M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + |v(t_0)|\cdot\frac{\varepsilon}{4(|v(t_0)|+1)}\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{4}\cdot\frac{|v(t_0)|}{|v(t_0)|+1}\\\ &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon. \end{aligned}
Isso mostra diretamente que u v é contínua em t_0.

Passo 6

Soma de funções contínuas: se p e q são contínuas em I, então p+q é contínua em I. Isso é imediato das propriedades de limite (ou pela prova epsilônica semelhante). Assim, cada soma finita \sum_{i=1}^n f_i g_i é contínua, porque cada termo f_i g_i é contínuo (Passo 4) e soma finita de contínuas é contínua.

Passo 7

Conclusão final: para todo t_0\in I a função
h(t)=\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)=\sum_{i=1}^{n} f_i(t)g_i(t)
é contínua em t_0. Como t_0 foi arbitrário, h é contínua em todo I. Portanto o produto escalar de duas funções vetoriais contínuas é uma função real contínua.

Resposta

A função h:I\to\mathbb{R} definida por h(t)=\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t) é contínua em I.

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