Sejam
e
funções vetoriais contínuas em um intervalo
. Mostrar que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Dado:
e são funções vetoriais contínuas em um intervalo . - Pedido: mostrar uma propriedade sobre a função escalar obtida pelo produto escalar (dot product) de
com . Especificamente, mostrar que a função
é contínua em
.
Passo 2
Vamos colocar as funções vetoriais em coordenadas (isso é só para manipular componente a componente). Suponha que as funções tenham dimensão
:
Como
e
são contínuas em
, cada componente
e
é uma função real contínua em
. (Isto é um fato padrão: continuidade de função vetorial equivale à continuidade componente a componente.)
Passo 3
Escrevemos o produto escalar usando as componentes:
Logo,
é soma finita de funções da forma
. Para concluir que
é contínua, basta mostrar que cada produto
é contínuo e que soma finita de funções contínuas é contínua.
Passo 4
Mostrar que, para funções reais, o produto de duas funções contínuas é contínuo. Seja
e
funções reais contínuas em
. Queremos provar que
é contínua em qualquer ponto fixo
.
Como
e
são contínuas em
, vale
Pela propriedade dos limites (limite do produto é o produto dos limites), obtemos
Portanto
é contínua em
. (Se preferir uma demonstração epsilônica: veja o Passo 5, que dá uma versão epsilônica curta para este argumento.)
Passo 5
Prova epsilônica curta (opcional, mas útil para prova “na prova”): seja
. Tome
. Como
é contínua em
, existe
tal que
sempre que
. Assim, para esses
temos
. Também, porque
e
são contínuas em
, existe
tal que
e
sempre que
. Tomando
obtemos, para
,
Isso mostra diretamente que
é contínua em
.
Passo 6
Soma de funções contínuas: se
e
são contínuas em
, então
é contínua em
. Isso é imediato das propriedades de limite (ou pela prova epsilônica semelhante). Assim, cada soma finita
é contínua, porque cada termo
é contínuo (Passo 4) e soma finita de contínuas é contínua.
Passo 7
Conclusão final: para todo
a função
é contínua em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
. Portanto o produto escalar de duas funções vetoriais contínuas é uma função real contínua.
Resposta
A função
definida por
é contínua em
.