Resolva \frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}>0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}>0.
Informações importantes fornecidas:
  • Queremos todos os números reais x que tornam a fração positiva.
  • A expressão é uma fração; portanto, valores que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão e devem ser excluídos da solução.
  • Há pontos onde o numerador pode ser zero (a fração fica igual a zero nesses pontos) — como a desigualdade é estrita ( >0), pontos onde o numerador é zero não pertencem à solução.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador — fatorar é escrever polinômios como produto de fatores lineares quando possível, pois isso facilita achar zeros e sinais.
O numerador x^{2}-9 é uma diferença de quadrados. A fatoração padrão é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
então
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
O denominador x^{2}-x-6 é um quadrático. Procura-se dois números cujo produto é -6 e soma é -1. Esses números são -3 e 2. Assim
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto a expressão fica
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}.

Passo 3

Ao fatorar vimos fatores comuns. Antes de simplificar, identifique os zeros de numerador e denominador (são pontos críticos):
  • Numerador nulo quando (x-3)(x+3)=0, ou seja, em x=3 e x=-3.
  • Denominador nulo quando (x-3)(x+2)=0, ou seja, em x=3 e x=-2.
Lembrete importante: onde o denominador é zero a expressão original não está definida, então x=-2 e x=3 são excluídos do domínio. Mesmo que haja cancelamento algébrico (como veremos), x=3 continua proibido porque na expressão original o denominador se anulava ali.

Passo 4

Podemos simplificar o fator comum (x-3) desde que lembremos de excluir x=3 posteriormente. Após cancelar (x-3) (para x\neq3) obtemos a forma simplificada
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6}=\frac{x+3}{x+2},\qquad x\neq3.
Mas reforçando: o ponto x=3 está fora do domínio original e deve ser sempre excluído. O ponto x=-2 também está fora do domínio porque anula o denominador.

Passo 5

Método de análise de sinal: para uma fração \dfrac{x+3}{x+2} (com exclusões), a desigualdade \dfrac{x+3}{x+2}>0 ocorre quando numerador e denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Os pontos que trocam o sinal da expressão são os zeros do numerador e do denominador, que são:
x=-3,\quad x=-2
(além de x=3 que não altera sinal mas é um ponto removido do domínio). Esses pontos particionam a reta em intervalos onde o sinal é constante. Vamos estudar os intervalos
(-\infty,-3),\quad (-3,-2),\quad (-2,3),\quad (3,\infty).

Passo 6

Avaliação do sinal em cada intervalo — escolho um ponto teste simples em cada intervalo e calculo o sinal de \dfrac{x+3}{x+2}.
  1. Intervalo (-\infty,-3). Ponto teste x=-4.
x+3=-4+3=-1\quad(\text{negativo}),\qquad x+2=-4+2=-2\quad(\text{negativo}).
Negativo dividido por negativo é positivo. Logo a fração é positiva em (-\infty,-3).
  1. Intervalo (-3,-2). Ponto teste x=-2{,}5.
x+3=-2{,}5+3=0{,}5\quad(\text{positivo}),\qquad x+2=-2{,}5+2=-0{,}5\quad(\text{negativo}).
Positivo dividido por negativo é negativo. Logo a fração é negativa em (-3,-2).
  1. Intervalo (-2,3). Ponto teste x=0.
x+3=3\quad(\text{positivo}),\qquad x+2=2\quad(\text{positivo}).
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é positiva em (-2,3), lembrando que x=3 não pertence ao domínio.
  1. Intervalo (3,\infty). Ponto teste x=4.
x+3=7\quad(\text{positivo}),\qquad x+2=6\quad(\text{positivo}).
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é positiva em (3,\infty).

Passo 7

Agora combine os resultados e lembre-se de excluir pontos onde a desigualdade não é satisfeita ou onde a expressão não está definida:
  • Em (-\infty,-3) a fração é positiva — esses x servem.
  • Em x=-3 a fração vale zero (numerador zero), mas a desigualdade é estrita >0, então x=-3 é excluído.
  • Em (-3,-2) a fração é negativa — excluído.
  • Em x=-2 o denominador é zero — excluído do domínio.
  • Em (-2,3) a fração é positiva — esses x servem.
  • Em x=3 a expressão original não está definida (denominador zero originalmente) — excluído.
  • Em (3,\infty) a fração é positiva — esses x servem.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é positiva, respeitando as exclusões.

Resposta

\,(-\infty,-3)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)

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