Resolva
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação racional
Informações importantes fornecidas:
- Queremos todos os números reais
que tornam a fração positiva. - A expressão é uma fração; portanto, valores que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão e devem ser excluídos da solução.
- Há pontos onde o numerador pode ser zero (a fração fica igual a zero nesses pontos) — como a desigualdade é estrita (
), pontos onde o numerador é zero não pertencem à solução.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador — fatorar é escrever polinômios como produto de fatores lineares quando possível, pois isso facilita achar zeros e sinais.
O numerador
é uma diferença de quadrados. A fatoração padrão é
então
O denominador
é um quadrático. Procura-se dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
. Assim
Portanto a expressão fica
Passo 3
Ao fatorar vimos fatores comuns. Antes de simplificar, identifique os zeros de numerador e denominador (são pontos críticos):
- Numerador nulo quando
, ou seja, em e . - Denominador nulo quando
, ou seja, em e .
Lembrete importante: onde o denominador é zero a expressão original não está definida, então
e
são excluídos do domínio. Mesmo que haja cancelamento algébrico (como veremos),
continua proibido porque na expressão original o denominador se anulava ali.
Passo 4
Podemos simplificar o fator comum
desde que lembremos de excluir
posteriormente. Após cancelar
(para
) obtemos a forma simplificada
Mas reforçando: o ponto
está fora do domínio original e deve ser sempre excluído. O ponto
também está fora do domínio porque anula o denominador.
Passo 5
Método de análise de sinal: para uma fração
(com exclusões), a desigualdade
ocorre quando numerador e denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Os pontos que trocam o sinal da expressão são os zeros do numerador e do denominador, que são:
(além de
que não altera sinal mas é um ponto removido do domínio). Esses pontos particionam a reta em intervalos onde o sinal é constante. Vamos estudar os intervalos
Passo 6
Avaliação do sinal em cada intervalo — escolho um ponto teste simples em cada intervalo e calculo o sinal de
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Negativo dividido por negativo é positivo. Logo a fração é positiva em
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Positivo dividido por negativo é negativo. Logo a fração é negativa em
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é positiva em
, lembrando que
não pertence ao domínio.
- Intervalo
. Ponto teste .
Positivo dividido por positivo é positivo. Logo a fração é positiva em
.
Passo 7
Agora combine os resultados e lembre-se de excluir pontos onde a desigualdade não é satisfeita ou onde a expressão não está definida:
- Em
a fração é positiva — esses servem. - Em
a fração vale zero (numerador zero), mas a desigualdade é estrita , então é excluído. - Em
a fração é negativa — excluído. - Em
o denominador é zero — excluído do domínio. - Em
a fração é positiva — esses servem. - Em
a expressão original não está definida (denominador zero originalmente) — excluído. - Em
a fração é positiva — esses servem.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é positiva, respeitando as exclusões.