a) Considere a função f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n^{3}} e então ESBOCE seu gráfico numa vizinhança de x_{0}=0 e descreva seu domínio.
b) Justifique em que intervalo vale a igualdade f^{\prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1) x^{n-2}}{n^{3}}.
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e o que ele dá, ponto a ponto, para eu e você nos organizarmos bem.
O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n^{3}}.
Pergunta (a): “esboce o gráfico numa vizinhança de x_{0}=0 e descreva seu domínio.” Ou seja: quero (i) uma descrição do comportamento de f para valores próximos de 0 (um esboço qualitativo, com valor, derivada, curvatura etc.) e (ii) qual é o conjunto de x para os quais a soma define f(x) (o domínio).
Pergunta (b): "Justifique em que intervalo vale a igualdade
" Ou seja: para quais x podemos diferenciar termo a termo e obter essa soma como derivada de f; precisamos justificar rigorosamente o intervalo onde isso é válido.
Informação extra que já está no enunciado: a série é uma série de potências centrada em 0 (cada termo é da forma const·x^{n-1}), então posso usar as ferramentas padrão de séries de potências (raio de convergência, convergência uniforme em intervalos fechados interiores, teorema sobre diferenciação termo a termo quando a série de derivadas converge uniformemente, etc.).
Passo 2
Calcular o raio de convergência e então o domínio (verificação dos extremos). Vou aplicar um teste simples (teste da razão ou raiz) para a série de potências. Considero os coeficientes a_{n}=\dfrac{1}{n^{3}} no termo x^{n-1}. Use o teste da razão para a sequência a_n:
Para uma série de potências \sum a_n x^{n-1}, o raio de convergência R satisfaz 1/R=\limsup |a_n|^{1/n}; aqui \limsup |a_n|^{1/n}=1, portanto R=1. Conclusão inicial: a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Agora preciso checar os pontos x=1 e x=-1 separadamente.
que é a série \sum 1/n^{3}, uma p-série com p=3>1, portanto converge absolutamente. (Valor conhecido: f(1)=\zeta(3) aprox. 1{,}202056, mas o valor numérico não é obrigatório aqui.)
que também converge absolutamente porque \sum 1/n^{3} converge (o fato de os sinais alternarem só facilita). Portanto os extremos x=\pm1 pertencem ao domínio.
Resultado: o domínio da função é o intervalo fechado
[-1,\,1].
Passo 3
Obter a expansão em potências de x ao redor de 0 (isso ajuda a esboçar o gráfico perto de x=0). Escrever os primeiros termos da série explicitamente: quando n=1 o termo é x^{0}/1^{3}=1; quando n=2 o termo é x^{1}/2^{3}=x/8; quando n=3 é x^{2}/3^{3}=x^{2}/27; etc. Logo
Isto é um desenvolvimento em série de potências em torno de 0. A partir disso podemos ler imediatamente f(0)=1, o coeficiente linear é 1/8, o coeficiente quadrático é 1/27, etc.
Passo 4
Calcular as derivadas em 0 (usando os coeficientes que já achamos) para caracterizar inclinação e curvatura em x=0. A partir da série:
f(0)=1.
Coeficiente de x é 1/8, então a derivada em 0 é
f'(0)=\frac{1}{8}=0{,}125.
(Interpretando: reta tangente em x=0 com inclinação 1/8.)
Coeficiente de x^{2} é 1/27. Lembrando que para uma série a_0 + a_1 x + a_2 x^2+\cdots vale f''(0)=2\cdot a_2, então
portanto a curva é levemente côncava para cima em x=0.
Conclusão qualitativa local: perto de x=0 a função está um pouco acima de 1 para x>0 pequeno (subindo com pequena inclinação 0{,}125) e é levemente convexa. A aproximação de primeira ordem (reta tangente) é
Descrever o esboço do gráfico na vizinhança de x=0 com base nas informações numéricas e qualitativas. Pontos importantes para marcar e usar no esboço:
Ponto central (0,1).
Tangente em 0 com inclinação 1/8 (muito suave, ângulo pequeno).
Curvatura positiva pequena (a função é levemente convexa perto de 0).
Valores limite nas bordas do domínio: f(1)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^{3}=\zeta(3)\approx1{,}202056 e f(-1)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}/n^{3}=(3/4)\zeta(3)\approx0{,}901542 (usei a fatoração conhecida \sum(-1)^{n-1}/n^3=(1-2^{1-3})\zeta(3)=\tfrac34\zeta(3)). Portanto na totalidade a função varia entre aproximadamente 0{,}9015 e 1{,}2021.
Esboço prático (como desenhar na prova): desenhe o eixo x, marque x=0 com y=1; desenhe uma curva que passa por (0,1), sobe um pouco para a direita com inclinação 1/8 e é levemente convexa; no x=1 a curva atinge aproximadamente 1{,}202 e em x=-1 cerca de 0{,}9015. Isso já é um esboço suficiente para a vizinhança de 0.
Passo 6
Agora justifico rigorosamente a igualdade da derivada com a soma dada em (b). Vou usar um teorema clássico sobre diferenciação termo a termo de séries de funções: se temos funções g_n diferenciáveis num intervalo e a série \sum g_n'(x) converge uniformemente no intervalo, e além disso \sum g_n(x_0) converge para algum ponto x_0 do intervalo, então a série \sum g_n(x) define uma função diferenciável nesse intervalo e a derivada pode ser obtida somando termo a termo:
\left(\sum g_n(x)\right)'=\sum g_n'(x).
Aplico isso ao nosso caso tomando
g_n(x)=\frac{x^{n-1}}{n^{3}}\quad (n\ge1).
Então para n\ge2 temos
g_n'(x)=\frac{(n-1)x^{n-2}}{n^{3}},
e g_1'(x)=0 (pois g_1(x)=1 é constante). Vou verificar a hipótese de convergência uniforme para a série das derivadas no intervalo [-1,1]. Para |x|\le1 e n\ge2 vale
A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n-1}{n^{3}} converge, pois \dfrac{n-1}{n^{3}} tem comportamento assintótico \sim 1/n^{2} e \sum 1/n^{2} converge. Pelo teste de Weierstrass (M-test), a série \sum g_n'(x) converge uniformemente em todo o intervalo [-1,1]. Além disso, claramente \sum g_n(0)=1 converge, então a hipótese “a série inicial converge em algum ponto do intervalo” está satisfeita. Portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas no intervalo [-1,1]. Conclusão: a soma f(x)=\sum g_n(x) é diferenciável em todo o intervalo [-1,1] e a derivada é obtida ao somar termo a termo:
f^{\prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n-2}}{n^{3}}\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
(Observação sobre o termo n=1: no somatório para f'(x) o índice começa em n=2 porque n=1 dá derivada zero; assim a fórmula está bem definida até nos extremos x=\pm1.)
Passo 7
Resumo final e checagens rápidas que podemos usar na prova:
Raio de convergência R=1, domínio [-1,1].
Expansão em potências: f(x)=1+\dfrac{x}{8}+\dfrac{x^{2}}{27}+\cdots, que dá f(0)=1, f'(0)=1/8, f''(0)=2/27.
A série das derivadas converge uniformemente em [-1,1] por comparação com uma série \sum (n-1)/n^{3} convergente; pela teoria, a diferenciação termo a termo é válida em todo [-1,1], portanto
f^{\prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)x^{n-2}}{n^{3}}\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
Resposta
(a) Esboço: perto de x=0 a função vale f(0)=1, tem inclinação f'(0)=1/8 (pequena e positiva) e curvatura f''(0)=2/27>0 (ligeiramente côncava para cima). O gráfico passa por (0,1), sobe suavemente para a direita e está contido entre f(-1)\approx0{,}901542 e f(1)\approx1{,}202056. Domínio: [-1,1].