Questão 6. Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória descrita por
, com
em segundos e
em metros.
(a) Determine a velocidade instantânea no instante
.
(b) Interprete esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto correspondente.
(c) Escreva a equação dessa tangente.
(a) Determine a velocidade instantânea no instante
(b) Interprete esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva
(c) Escreva a equação dessa tangente.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
em segundos e
em metros. O problema pede três coisas:
(a) Determinar a velocidade instantânea no instante
.
(b) Interpretar esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto correspondente.
(c) Escrever a equação dessa reta tangente.
(b) Interpretar esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva
(c) Escrever a equação dessa reta tangente.
As informações relevantes são: a expressão de
e o instante
. Vamos usar a definição de velocidade instantânea como o limite do quociente incremental e também a regra de derivação para polinômios, para entender ambos os caminhos.
Passo 2
Definição básica que vamos usar: a velocidade instantânea
é o limite do quociente incremental de
quando o incremento de tempo tende a zero:
Aqui
é um pequeno incremento de tempo; ao calcular esse limite obtemos a taxa instantânea de variação de
em relação a
.
Vamos aplicar essa definição no ponto
. Primeiro calculo
:
Agora expandindo:
logo
Substituo na definição do quociente incremental:
Agora tomo o limite quando
:
Portanto, pela definição, a velocidade instantânea no instante
é
(unidade: metros por segundo).
Passo 3
Mostro também o método mais rápido usando regras de derivação (útil na prova): para um polinômio
, usamos a regra da potência e a linearidade da derivada.
Regra da potência (forma simples): para ,
.
Regra da derivada de uma constante vezes função: .
Aplicando:
Regra da potência (forma simples): para
Regra da derivada de uma constante vezes função:
Aplicando:
Avalio em
:
confirmando o resultado obtido pelo limite. Aqui
é a função velocidade em qualquer instante
; em
vale
.
Passo 4
Interpretação geométrica (parte b): o valor da derivada
em um ponto
é o coeficiente angular (declive, inclinação) da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso significa que a velocidade instantânea é a inclinação da reta que “toca” a curva naquele instante.
No nosso caso, o ponto correspondente a
tem coordenadas
Calculo
:
Então o ponto é
e o coeficiente angular da tangente é
. Em palavras: a reta tangente ao gráfico de
em
sobe
metros quando
aumenta de
segundo — por isso a unidade
.
Passo 5
Equação da reta tangente (parte c): usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta. Se uma reta tem inclinação
e passa por
, sua equação é
Aqui
,
,
. Substituindo:
Podemos expandir para uma forma explícita:
Portanto a equação da reta tangente é
, equivalente a
. Essa reta aproxima o valor de
para tempos próximos a
segundos — por exemplo, para
a reta dá
m, que é uma boa aproximação de
.
Resposta
(a)
(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto é (ou seja, a inclinação da reta tangente é
, em
).
(c) ou, equivalente,
.
(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto é
(c)