Questão 6. Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória descrita por s(t)=t^{2}+2 t, com t em segundos e s(t) em metros.
(a) Determine a velocidade instantânea no instante t=3.
(b) Interprete esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva s(t) no ponto correspondente.
(c) Escreva a equação dessa tangente.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo: s(t)=t^{2}+2t, com t em segundos e s(t) em metros. O problema pede três coisas:
(a) Determinar a velocidade instantânea no instante t=3.
(b) Interpretar esse resultado como o coeficiente angular da reta tangente à curva s(t) no ponto correspondente.
(c) Escrever a equação dessa reta tangente.
As informações relevantes são: a expressão de s(t) e o instante t=3. Vamos usar a definição de velocidade instantânea como o limite do quociente incremental e também a regra de derivação para polinômios, para entender ambos os caminhos.

Passo 2

Definição básica que vamos usar: a velocidade instantânea v(t) é o limite do quociente incremental de s quando o incremento de tempo tende a zero:
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento de tempo; ao calcular esse limite obtemos a taxa instantânea de variação de s em relação a t.
Vamos aplicar essa definição no ponto t=3. Primeiro calculo s(3+h):
s(3+h)=(3+h)^{2}+2(3+h).
Agora expandindo:
(3+h)^{2}=9+6h+h^{2},
2(3+h)=6+2h,
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s(3+h)=9+6h+h^{2}+6+2h=15+8h+h^{2}.
Substituo na definição do quociente incremental:
\frac{s(3+h)-s(3)}{h}=\frac{15+8h+h^{2}-15}{h}=\frac{8h+h^{2}}{h}=8+h.
Agora tomo o limite quando h\to 0:
v(3)=\lim_{h\to 0}(8+h)=8.
Portanto, pela definição, a velocidade instantânea no instante t=3 é 8 (unidade: metros por segundo).

Passo 3

Mostro também o método mais rápido usando regras de derivação (útil na prova): para um polinômio s(t)=t^{2}+2t, usamos a regra da potência e a linearidade da derivada.
Regra da potência (forma simples): para t^{n}, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
Regra da derivada de uma constante vezes função: \dfrac{d}{dt}[a\cdot f(t)]=a\cdot f'(t).
Aplicando:
v(t)=s'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(2t\big)=2t+2.
Avalio em t=3:
v(3)=2\cdot 3+2=6+2=8,
confirmando o resultado obtido pelo limite. Aqui v(t) é a função velocidade em qualquer instante t; em t=3 vale 8\\ \text{m/s}.

Passo 4

Interpretação geométrica (parte b): o valor da derivada s'(t_{0}) em um ponto t_{0} é o coeficiente angular (declive, inclinação) da reta tangente ao gráfico da função s(t) no ponto (t_{0},s(t_{0})). Isso significa que a velocidade instantânea é a inclinação da reta que “toca” a curva naquele instante.
No nosso caso, o ponto correspondente a t=3 tem coordenadas
(t_{0},s(t_{0}))=(3,s(3)).
Calculo s(3):
s(3)=3^{2}+2\cdot 3=9+6=15.
Então o ponto é (3,15) e o coeficiente angular da tangente é s'(3)=8. Em palavras: a reta tangente ao gráfico de s(t) em (3,15) sobe 8 metros quando t aumenta de 1 segundo — por isso a unidade \text{m/s}.

Passo 5

Equação da reta tangente (parte c): usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta. Se uma reta tem inclinação m e passa por (t_{0},s_{0}), sua equação é
s-s_{0}=m\,(t-t_{0}).
Aqui m=s'(3)=8, t_{0}=3, s_{0}=15. Substituindo:
s-15=8\,(t-3).
Podemos expandir para uma forma explícita:
s-15=8t-24 \quad\Rightarrow\quad s=8t-24+15=8t-9.
Portanto a equação da reta tangente é \displaystyle s-15=8(t-3), equivalente a \displaystyle s=8t-9. Essa reta aproxima o valor de s(t) para tempos próximos a 3 segundos — por exemplo, para t=3{,}1 a reta dá s\approx 15+8\cdot 0{,}1=15{,}8 m, que é uma boa aproximação de s(3{,}1).

Resposta

(a) 8\\ \text{m/s}
(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto é 8 (ou seja, a inclinação da reta tangente é 8, em \text{m/s}).
(c) \;s-15=8(t-3)\; ou, equivalente, \;s=8t-9.

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