Considere a função
f(x)=sumn=0^infty 3n+2 x^n
  1. Encontre f^(6)(0) (a derivada de ordem 6 da função f em x=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série infinita:
f(x)=sumn=0^infty 3n+2 x^n
O que a gente precisa encontrar é a sexta derivada dessa função, avaliada em $ x = 0 $, ou seja, $ f^{(6)}(0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e derivadas de funções representadas por séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
f(x) = sumn=0^infty an x^n
onde $ a_n $ são os coeficientes da série. No nosso caso, $ a_n = \frac{3}{n+2} $.

Passo 3

Agora, para encontrar a $ k $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em 0, há uma fórmula legal:
k
Isso significa que a derivada de ordem $ k $ em 0 é igual a $ k $ fatorial vezes o coeficiente $ a_k $ da série.

Passo 4

Como estamos procurando a sexta derivada, $ k = 6 $. Então, vamos aplicar a fórmula:
k = 6
Primeiro, precisamos encontrar $ a_6 $. Sabemos que:
f^(6)(0) = 6! cdot a6
Então, para $ n = 6 $:
a6

Passo 5

Agora, calculamos $ 6! $ (6 fatorial):
6!
Multiplicando isso pelo $ a_6 $:
6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720

Resposta

$ f^{(6)}(0) = 270 $

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