Considere a função
- Encontre
(a derivada de ordem 6 da função
em
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série infinita:
O que a gente precisa encontrar é a sexta derivada dessa função, avaliada em $ x = 0 $, ou seja, $ f^{(6)}(0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e derivadas de funções representadas por séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde $ a_n $ são os coeficientes da série. No nosso caso, $ a_n = \frac{3}{n+2} $.
Passo 3
Agora, para encontrar a $ k $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em 0, há uma fórmula legal:
Isso significa que a derivada de ordem $ k $ em 0 é igual a $ k $ fatorial vezes o coeficiente $ a_k $ da série.
Passo 4
Como estamos procurando a sexta derivada, $ k = 6 $. Então, vamos aplicar a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar $ a_6 $. Sabemos que:
Então, para $ n = 6 $:
Passo 5
Agora, calculamos $ 6! $ (6 fatorial):
Multiplicando isso pelo $ a_6 $:
Resposta
$ f^{(6)}(0) = 270 $