y^prime+1x cdot y=e^x para y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y^{\prime} + \frac{1}{x} \cdot y = e^{x} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $.
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método ajuda a transformar a equação em algo que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
y^prime + P(x) cdot y = Q(x)
Onde:
P(x) = 1x e Q(x) = e^x

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo $ P(x) $:
P(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Simplificando:
x cdot y^prime + x cdot 1x cdot y = x cdot e^x

Passo 5

Agora, a equação fica assim:
ddx (x cdot y) = x e^x
Isso acontece porque multiplicamos pelo fator integrante para que o lado esquerdo seja a derivada do produto $ x \cdot y $.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente $ x \cdot y $.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral do lado direito:
integral x e^x , dx
Usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Então, aplicando integração por partes:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C

Passo 8

Voltando à nossa equação:
x cdot y = x e^x - e^x + C
Agora, resolvemos para $ y $:
y

Passo 9

Usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar $ C $:
y(1) = 2
C
2 = e^1 - e^11 + C1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = e^x - e^xx + 2x

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