para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y^{\prime} + \frac{1}{x} \cdot y = e^{x} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $.
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método ajuda a transformar a equação em algo que possamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ \mu(x) = x $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a equação fica assim:
Isso acontece porque multiplicamos pelo fator integrante para que o lado esquerdo seja a derivada do produto $ x \cdot y $.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente $ x \cdot y $.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral do lado direito:
Usamos a técnica de integração por partes, onde:
Então, aplicando integração por partes:
Passo 8
Voltando à nossa equação:
Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 9
Usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: