integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre uma região no espaço definida pelas condições dos limites das integrais. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender bem as regiões de integração e, provavelmente, mudar para coordenadas esféricas para simplificar as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites das integrais indicam que estamos integrando dentro de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Isso porque para cada entre e , varia entre e , e varia de maneira similar, garantindo que .

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, o jeito mais fácil é mudar para coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é . Além disso, na esfera de raio 1, varia de 0 a 1, de 0 a e de 0 a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta se torna integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi sinphi , dphi cdot integral0^1 r^4 , dr . Então, a integral fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^pi sinphi , dphi = 2
  1. Integral em integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :
  1. Integral em :

Resposta

Multiplicando tudo, o resultado da integral é:
2pi times 2 times 15 = 4pi5
Então, a resposta final é .

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