Considere a função
.
(a) Encontre a série de potências para a derivada
e o raio de convergência.
(a) Encontre a série de potências para a derivada
Passo 1
Então, a gente tem uma função dada por uma série infinita:
. A questão pede para a gente encontrar a série de potências da derivada dessa função, ou seja,
, e também determinar o raio de convergência dessa nova série. Vamos precisar usar conhecimentos de derivação de séries de potências e entender o que é raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função termo a termo. Isso significa que derivamos cada termo da série individualmente. A razão para isso funcionar é que, dentro do raio de convergência, a derivada da série é igual à série das derivadas. Então, vamos derivar cada termo:
Derivando termo a termo, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada termo. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Portanto, a série da derivada fica:
Passo 4
Essa nova série
é uma série geométrica. Sabemos que uma série geométrica da forma
converge quando
. No nosso caso,
, então a série converge quando:
Passo 5
Assim, o raio de convergência da série derivada é 1, porque a série converge para todos os
tais que
.
Resposta
A série de potências da derivada
é
e o raio de convergência dessa série é 1.