Considere a função f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.
(a) Encontre a série de potências para a derivada f^prime e o raio de convergência.

Passo 1

Então, a gente tem uma função dada por uma série infinita: . A questão pede para a gente encontrar a série de potências da derivada dessa função, ou seja, , e também determinar o raio de convergência dessa nova série. Vamos precisar usar conhecimentos de derivação de séries de potências e entender o que é raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função termo a termo. Isso significa que derivamos cada termo da série individualmente. A razão para isso funcionar é que, dentro do raio de convergência, a derivada da série é igual à série das derivadas. Então, vamos derivar cada termo:
f(x) = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+12n+1
Derivando termo a termo, temos:
f'(x) = sumn=0^+infty (-1)^n ddx ( x^2n+12n+1 )

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada termo. A derivada de ddx ( x^2n+12n+1 ) = (2n+1)x^2n2n+1 = x^2n em relação a f'(x) = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n é . Então:
Portanto, a série da derivada fica:

Passo 4

Essa nova série | -x^2 | < 1 implies x^2 < 1 implies |x| < 1 é uma série geométrica. Sabemos que uma série geométrica da forma converge quando . No nosso caso, , então a série converge quando:

Passo 5

Assim, o raio de convergência da série derivada é 1, porque a série converge para todos os tais que .

Resposta

A série de potências da derivada é e o raio de convergência dessa série é 1.

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