Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma série de potências que represente a integral de
de 0 até
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de potências da função exponencial e saber como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências do
. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de 0 até
. A gente pode fazer a integração termo a termo, o que é permitido porque a série converge para todas as
. Então temos:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de 0 até
:
Então, substituindo de volta na série:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão observando que
. Assim, a série fica:
Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de índice. Deixa eu te mostrar:
Passo 6
Vamos substituir
. Quando
,
. Então, nossa série fica:
Podemos renomear
de volta para
sem problema, ficando:
Passo 7
Agora, sobre o raio de convergência. Sabemos que a série de potências do
tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo
. Como integramos termo a termo sem alterar o comportamento da série, o raio de convergência continua sendo infinito.
Resposta
A representação em série de potências da integral é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.