Ache uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
(b) integral0^x e^t d t

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma série de potências que represente a integral de de 0 até , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a série de potências da função exponencial e saber como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências do e^t = sumn=0^infty t^nn! . Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de 0 até integral0^x e^t , dt = integral0^x sumn=0^infty t^nn! , dt = sumn=0^infty 1n! integral0^x t^n , dt . A gente pode fazer a integração termo a termo, o que é permitido porque a série converge para todas as . Então temos:
Aqui, trocamos a ordem da soma e da integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^x t^n , dt = x^n+1n+1 de 0 até sumn=0^infty 1n! cdot x^n+1n+1 = sumn=0^infty x^n+1(n+1) cdot n! :
Então, substituindo de volta na série:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão observando que sumn=0^infty x^n+1(n+1)! . Assim, a série fica:
Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de índice. Deixa eu te mostrar:

Passo 6

Vamos substituir summ=1^infty x^mm! . Quando sumn=1^infty x^nn! , . Então, nossa série fica:
Podemos renomear de volta para sem problema, ficando:

Passo 7

Agora, sobre o raio de convergência. Sabemos que a série de potências do tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo . Como integramos termo a termo sem alterar o comportamento da série, o raio de convergência continua sendo infinito.

Resposta

A representação em série de potências da integral é:
integral0^x e^t , dt = sumn=1^infty x^nn!
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados