Considere a função f(x) tal que a transformada de Fourier mathscrF[f](omega)=2+i omega1+2 i omega-omega^2. Sobre f(x) é correto afirmar que:
a) f(x) é contínua em R.
b) f(0)=0.
c) f(1)=2 raiz2 pie.
d) lim x infty f(x)=1.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a transformada de Fourier de uma função mathscrF[f](omega) = 2 + iomega1 + 2iomega - omega^2 , que é dada por:
O conteúdo principal aqui é a Transformada de Fourier, uma ferramenta utilizada para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como relacionar a transformada de Fourier com a função original e analisar as propriedades de com base nessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier de uma função nos dá informação sobre as frequências que compõem essa função. Para encontrar , precisaríamos calcular a transformada inversa de Fourier. No entanto, como a questão só pede para verificar afirmações sobre , podemos analisar a expressão da transformada para entender algumas propriedades.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da transformada:
mathscrF[f](omega) = 2 + iomega1 + 2iomega - omega^2
Podemos reescrever o denominador como:
1 + 2iomega - omega^2 = -( omega^2 - 2iomega - 1 )
E fatorar o denominador:
omega^2 - 2iomega - 1 = (omega - (i + raiz2) )( omega - (i - raiz2) )
Isso nos ajuda a perceber que a transformada de Fourier tem polos complexos, indicando que será uma combinação de exponenciais complexas, o que sugere que será contínua em .

Passo 4

Analisando a alternativa a): " é contínua em ". Com base na forma da transformada de Fourier e nos polos complexos encontrados, podemos concluir que é, de fato, uma função contínua.

Passo 5

Vamos verificar as outras alternativas para ter certeza:
  • Alternativa b): " ". Para encontrar , precisaríamos calcular a transformada inversa de Fourier no ponto , o que não é diretamente possível apenas com a expressão dada.
  • Alternativa c): " ". Similarmente, calcular exigiria a transformada inversa completa.
  • Alternativa d"): " ". Geralmente, funções obtidas por transformadas de Fourier com polos complexos tendem a zero no infinito, não a uma constante como 1.
  • Alternativa e): “Nenhuma das alternativas anteriores está correta”. Como vimos que a alternativa a) está correta, essa opção está errada.

Resposta

a) é contínua em .

Exercícios relacionados