Considere a função
tal que a transformada de Fourier
. Sobre
é correto afirmar que:
a)
é contínua em
.
b)
.
c)
.
d)
.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a transformada de Fourier de uma função
, que é dada por:
O conteúdo principal aqui é a Transformada de Fourier, uma ferramenta utilizada para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como relacionar a transformada de Fourier com a função original
e analisar as propriedades de
com base nessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier de uma função
nos dá informação sobre as frequências que compõem essa função. Para encontrar
, precisaríamos calcular a transformada inversa de Fourier. No entanto, como a questão só pede para verificar afirmações sobre
, podemos analisar a expressão da transformada para entender algumas propriedades.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da transformada:
Podemos reescrever o denominador como:
E fatorar o denominador:
Isso nos ajuda a perceber que a transformada de Fourier tem polos complexos, indicando que
será uma combinação de exponenciais complexas, o que sugere que
será contínua em
.
Passo 4
Analisando a alternativa a): "
é contínua em
". Com base na forma da transformada de Fourier e nos polos complexos encontrados, podemos concluir que
é, de fato, uma função contínua.
Passo 5
Vamos verificar as outras alternativas para ter certeza:
- Alternativa b): "
". Para encontrar , precisaríamos calcular a transformada inversa de Fourier no ponto , o que não é diretamente possível apenas com a expressão dada. - Alternativa c): "
". Similarmente, calcular exigiria a transformada inversa completa. - Alternativa d"): "
". Geralmente, funções obtidas por transformadas de Fourier com polos complexos tendem a zero no infinito, não a uma constante como 1. - Alternativa e): “Nenhuma das alternativas anteriores está correta”. Como vimos que a alternativa a) está correta, essa opção está errada.
Resposta
a)
é contínua em
.