Considere a função
determine os pontos críticos de
;
determine os pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9 $ e precisa encontrar os pontos críticos dela. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e é calculada aplicando as regras de derivação aos termos da função.
A função dada é:
Derivando cada termo:
- A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $
- A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -6x $
- A derivada de uma constante, como $ -9 $, é $ 0 $
Então, a derivada $ f’(x) $ fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, pois esses são os nossos pontos críticos.
Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções:
- $ 3x = 0 $ ⇒ $ x = 0 $
- $ x - 2 = 0 $ ⇒ $ x = 2 $
Passo 4
Além de onde a derivada é zero, também precisamos verificar se há algum ponto onde a derivada não existe. No caso dessa função polinomial, a derivada existe para todo valor de $ x $, então não temos pontos críticos extras.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9 $ são $ x = 0 $ e $ x = 2 $.