A equação diferencial
x^prime prime+2 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=-raiz6
determina a posição de um bloco em MHS tomando como referência a posição de equilíbrio.
Depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez?

Passo 1

Estamos lidando com um Movimento Harmônico Simples (MHS) descrito pela equação x'' + 2x = 0 sujeita às condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=-raiz6. Precisamos achar a solução x(t) e, em seguida, descobrir quando a mola atinge sua máxima contração (isto é, quando x atinge o valor mínimo) pela primeira vez.

Passo 2

Para resolver a ODE, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2 = 0 Longrightarrow r = pm iraiz2

Passo 3

Logo, a solução geral do MHS é
x(t) = Acosl(raiz2,tr) + Bsinl(raiz2,tr)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
x(0) = A = 1

Passo 5

Em seguida derivamos x(t):
x'(t) = -Araiz2sinl(raiz2,tr) + Braiz2cosl(raiz2,tr)

Passo 6

Em t=0 vale
x'(0) = Braiz2 = -raiz6 Longrightarrow B = -raiz6raiz2 = -raiz3

Passo 7

Com isso
x(t) = cosl(raiz2,tr) - raiz3,sinl(raiz2,tr)

Passo 8

O próximo passo é achar a amplitude do movimento:
R = raizA^2 + B^2 = raiz1 + 3 = 2

Passo 9

A máxima contração da mola ocorre quando x = -R = -2. Para resolver cos- sin de forma mais direta, podemos usar a forma de fase:
x(t) = 2cosl(raiz2,t + tfracpi3r)

Passo 10

Esse cosseno atinge -2 (ou seja, argumento igual a pi) quando
raiz2,t + tfracpi3 = pi Longrightarrow raiz2,t = 2pi3 Longrightarrow t = 2pi3raiz2 = piraiz23

Resposta

t = dfracpiraiz23

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