Uma massa de 14 kg está suspensa em uma mola cujo coeficiente elástico é 56 N / m. A massa é liberada a partir de um ponto 0,30 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial ascendente de 1 m / s. Supondo que não há amortecimento, determine os instantes nos quais a massa está se movendo para baixo com velocidade de 0,5 m / s.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma massa de 14 kg presa a uma mola de constante elástica 56 N/m, liberada 0,30 m acima da posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1 m/s para cima. O conteúdo aqui é Movimento Harmônico Simples (MHS) sem amortecimento, e vamos precisar: calcular a frequência angular ω, montar a solução geral y(t) e impor as condições iniciais, depois achar os instantes em que a velocidade v(t) vale +0,5 m/s (para baixo).

Passo 2

Escolhemos o eixo y com origem na posição de equilíbrio e sentido positivo para baixo. A equação do MHS é y’’ + ω^2 y = 0, com ω = raizk/m. Como k = 56 N/m e m = 14 kg temos
ω = raiz56/14 = 2 rad/s

Passo 3

A solução geral é
y(t) = C1cos(ωt) + C2sin(ωt),
e a velocidade é
v(t) = y'(t) = -ωC1sin(ωt) + ωC2cos(ωt)

Passo 4

Em t = 0 sabemos que a massa está 0,30 m acima do equilíbrio, ou seja y(0) = -0,30 m, e lançada para cima com v(0) = -1,0 m/s (negativo porque para baixo é positivo). Então
C_1 = y(0) = -0{,}30,
e
ωC_2 = v(0) ⇒ C_2 = v(0)/ω = -1{,}0/2 = -0{,}5.

Passo 5

Substituindo em v(t) com ω = 2 rad/s, C_1 = -0,30 e C_2 = -0,5,
v(t) = -2(-0,30)sin(2t) + 2(-0,5)cos(2t) = 0,60sin(2t) - 1,0cos(2t)

Passo 6

Agora impomos v(t) = +0,5 m/s e resolvemos
0,60sin(2t) - 1,0cos(2t) = 0,5

Passo 7

Para simplificar, escrevemos essa combinação como amplitude R e fase δ:
R = raiz0,60^2 + (-1,0)^2 = 1,1662, δ = arctanl(tfrac-1,00,60r) = -1,0304 rad

Passo 8

Então a equação vira
1,1662sin(2t + δ) = 0,5Longrightarrowsin(2t - 1,0304) = 0,4288

Passo 9

As soluções gerais para θ = 2t + δ são
2t + δ = arcsin(0,4288) + 2πnou2t + δ = π - arcsin(0,4288) + 2πn

Passo 10

Substituindo δ e isolando t, obtemos duas famílias:
t = 0,7369 + πn, t = 1,8643 + πn, n in Z

Passo 11

Portanto, os primeiros instantes positivos são cerca de 0,737 s e 1,864 s, e depois se repetem a cada π segundos.

Resposta

As soluções gerais são
t = 0,7369 + πn, t = 1,8643 + πn, n in Z,
com os primeiros instantes positivos aproximadamente 0,737 s e 1,864 s.

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