Uma massa de 14 kg está suspensa em uma mola cujo coeficiente elástico é
. A massa é liberada a partir de um ponto
acima da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial ascendente de
. Supondo que não há amortecimento, determine os instantes nos quais a massa está se movendo para baixo com velocidade de
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma massa de 14 kg presa a uma mola de constante elástica 56 N/m, liberada 0,30 m acima da posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1 m/s para cima. O conteúdo aqui é Movimento Harmônico Simples (MHS) sem amortecimento, e vamos precisar: calcular a frequência angular ω, montar a solução geral y(t) e impor as condições iniciais, depois achar os instantes em que a velocidade v(t) vale +0,5 m/s (para baixo).
Passo 2
Escolhemos o eixo y com origem na posição de equilíbrio e sentido positivo para baixo. A equação do MHS é y’’ + ω^2 y = 0, com ω =
. Como k = 56 N/m e m = 14 kg temos
Passo 3
A solução geral é
e a velocidade é
Passo 4
Em t = 0 sabemos que a massa está 0,30 m acima do equilíbrio, ou seja y(0) = -0,30 m, e lançada para cima com v(0) = -1,0 m/s (negativo porque para baixo é positivo). Então
C_1 = y(0) = -0{,}30,
e
ωC_2 = v(0) ⇒ C_2 = v(0)/ω = -1{,}0/2 = -0{,}5.
C_1 = y(0) = -0{,}30,
e
ωC_2 = v(0) ⇒ C_2 = v(0)/ω = -1{,}0/2 = -0{,}5.
Passo 5
Substituindo em v(t) com ω = 2 rad/s, C_1 = -0,30 e C_2 = -0,5,
Passo 6
Agora impomos v(t) = +0,5 m/s e resolvemos
Passo 7
Para simplificar, escrevemos essa combinação como amplitude R e fase δ:
Passo 8
Então a equação vira
Passo 9
As soluções gerais para θ = 2t + δ são
Passo 10
Substituindo δ e isolando t, obtemos duas famílias:
Passo 11
Portanto, os primeiros instantes positivos são cerca de 0,737 s e 1,864 s, e depois se repetem a cada π segundos.
Resposta
As soluções gerais são
com os primeiros instantes positivos aproximadamente 0,737 s e 1,864 s.