Considere a função f(x)=x^wed>=3-3x^wed>=2-9
Determine os pontos em que f assume máximo ou mínimo local, caso existam.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3-3x^2-9. O conteúdo é cálculo de extremos locais via derivadas: vamos precisar de f'(x) para achar pontos críticos e de f''(x) para classificá-los.

Passo 2

Calculemos a derivada e localizemos os pontos críticos. A derivada representa a inclinação da reta tangente:
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2-9r)=3x^2-6x=3x(x-2)
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, logo
3x(x-2)=0implies x=0 ou x=2

Passo 3

Agora usamos a segunda derivada para classificar os pontos. A segunda derivada indica a concavidade da curva:
f''(x)=ddx(3x^2-6x)=6x-6
Avaliaremos em cada crítico:
  • Em x=0: f''(0)=6cdot0-6=-6<0, concavidade para baixo ⇒ máximo local.
  • Em x=2: f''(2)=6cdot2-6=6>0, concavidade para cima ⇒ mínimo local.

Passo 4

Finalmente, calculamos os valores de f nesses pontos para dar as coordenadas completas:
f(0)=0^3-3cdot0^2-9=-9, f(2)=2^3-3cdot2^2-9=8-12-9=-13
Portanto, em x=0 há um máximo local de -9 e em x=2 um mínimo local de -13.

Resposta

Máximo local em x=0 com f(0)=-9; mínimo local em x=2 com f(2)=-13.

Exercícios relacionados