Considere a função
f(x)= x+1, & se x<1 cx, & se x >= 1
a) Existe uma constante c para a qual a função é contínua em x=1 ? Justifique sua resposta.
b) Se existir uma constante c tal que f(x) seja contínua em x=1, esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x + 1, & se x<1,[6pt] dfraccx, & se x>=1,
pede (a) verificar se existe c que torne f contínua em x=1 e (b) esboçar o gráfico caso haja tal c. O conteúdo é continuidade de função por análise de limites laterais.]

Passo 2

Calcule o limite à esquerda em x=1. Como para x<1 vale f(x)=x+1,
limxto1^-f(x) =limxto1^-(x+1) =1+1 =2

Passo 3

Calcule o limite à direita em x=1 e o valor de f(1). Para x>=1 temos f(x)=c/x, logo
limxto1^+f(x) =limxto1^+cx =c1 =c,
e também f(1)=c/1=c.

Passo 4

Para f ser contínua em x=1 é preciso
limxto1^-f(x) =limxto1^+f(x) =f(1)
Logo 2 = c. Portanto existe e vale c=2.

Passo 5

Com
No esboço:
  • Para deslocada para cima em , terminando num ponto aberto em .
  • Para , ramo da hipérbole , que em , com ponto cheio em .]

Resposta

a) Sim. A condição de continuidade em x=1 c=2.
b) Para c=2, o gráfico é a reta y=x+1 para x<1 (com ponto aberto em (1,2)) e o ramo de hipérbole y=2/x para x>=1 (com ponto cheio em (1,2)).

Exercícios relacionados