Problema 100 Prove por indução matemática que, para qualquer inteiro positivo n,
1^2+2^2+3^2+cdots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro positivo n vale
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6
O conteúdo é soma de quadrados e o método é o princípio de indução.

Passo 2

Caso base n=1.
O lado esquerdo é
1^2=1
e o lado direito é
1cdot(1+1)cdot(2cdot1+1)6=1cdot2cdot36=1
Logo, a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 se tenha
1^2+2^2+cdots+k^2=k(k+1)(2k+1)6

Passo 4

Passo indutivo: mostramos que a fórmula vale para n=k+1.
Temos
1^2+cdots+k^2+(k+1)^2 =k(k+1)(2k+1)6+(k+1)^2,
pela hipótese. Colocando em comum denominador e fatorando k+1:
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^26 =(k+1)l[k(2k+1)+6(k+1)r]6 =(k+1)(2k^2+7k+6)6
Como 2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3), resulta
(k+1)(k+2)(2k+3)6 =(k+1)l((k+1)+1r)l(2(k+1)+1r)6,
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 5

Concluímos, pelo princípio de indução, que
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6
para todo inteiro positivo n.

Resposta

A fórmula está provada para todo ninZ^+.

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