Problema 100 Prove por indução matemática que, para qualquer inteiro positivo
,
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro positivo
vale
O conteúdo é soma de quadrados e o método é o princípio de indução.
Passo 2
Caso base
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo, a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
se tenha
Passo 4
Passo indutivo: mostramos que a fórmula vale para
.
Temos
Temos
pela hipótese. Colocando em comum denominador e fatorando
:
Como
, resulta
que é exatamente a fórmula para
.
Passo 5
Concluímos, pelo princípio de indução, que
para todo inteiro positivo
.
Resposta
A fórmula está provada para todo
.