Sejam e uma função definida em Br(a)=x in R^n ;|x-a| <= r. Suponha que exista lambda in] 0,1[ tal que:
i) |f(x)-f(y)| <= lambda|x-y|, forall x, y in Br(a).
ii) |f(a)-a| <=(1-lambda) r.
Mostre que f(Br(a)) subset Br(a) e conclua, usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um único ponto fixo barx in Br(a) de f, ou seja, tal que f(barx)=barx.
Passo 1
O enunciado considera uma função que satisfaz
para todo , com (é uma contração).
.
Queremos primeiro mostrar que
e depois aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach para concluir a existência e unicidade de tal que .
Passo 2
Tome qualquer xinBr(a), ou seja, |x-a|<= r. Pela desigualdade triangular e pelas hipóteses i) e ii) temos
Sabemos que é um espaço métrico completo (é fechado em ). Além disso, restringindo a , a condição
mostra que é de fato uma contração nesse espaço completo.
Passo 4
Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, toda contração num espaço métrico completo tem exatamente um ponto fixo. Assim, existe um único bar xinBr(a) tal que
f(bar x)=bar x
Resposta
Mostramos que f(Br(a))subsetBr(a). Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo bar xinBr(a) tal que f(bar x)=bar x.