Sejam a in R^n, r>0 e f: Br(a) R^n uma função definida em Br(a)=x in R^n ;|x-a| <= r. Suponha que exista lambda in] 0,1[ tal que:
i) |f(x)-f(y)| <= lambda|x-y|, forall x, y in Br(a).
ii) |f(a)-a| <=(1-lambda) r.
Mostre que f(Br(a)) subset Br(a) e conclua, usando o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um único ponto fixo barx in Br(a) de f, ou seja, tal que f(barx)=barx.

Passo 1

O enunciado considera uma função que satisfaz
  1. para todo , com (é uma contração).
  2. .
    Queremos primeiro mostrar que
e depois aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach para concluir a existência e unicidade de tal que .

Passo 2

Tome qualquer xinBr(a), ou seja, |x-a|<= r. Pela desigualdade triangular e pelas hipóteses i) e ii) temos
|f(x)-a| <=|f(x)-f(a)|+|f(a)-a| <=lambda|x-a|+(1-lambda)r <=lambda r+(1-lambda)r =r
Logo f(x)inBr(a) e portanto
fl(Br(a)r)subsetBr(a)

Passo 3

Sabemos que é um espaço métrico completo (é fechado em ). Além disso, restringindo a , a condição
mostra que é de fato uma contração nesse espaço completo.

Passo 4

Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, toda contração num espaço métrico completo tem exatamente um ponto fixo. Assim, existe um único bar xinBr(a) tal que
f(bar x)=bar x

Resposta

Mostramos que f(Br(a))subsetBr(a). Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo bar xinBr(a) tal que f(bar x)=bar x.

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