Escreva integralR^n e^-pi|x|^2 d x=lim R infty integralB(0, R) e^-pi|x|^2 d x em coordenadas polares usando o item 3) e conclua, usando o item 4) e 5), que
Área (S^n-1)=2 pi^n2Gamma(n2) Á
Usando o item 3), conclua que
Volume (B(0,1))=2 pi^n2n Gamma(n2)

Passo 1

O enunciado pede para escrever
em coordenadas polares e usar os itens 3), 4) e 5) para achar a área de . Pelo item 3), em coordenadas polares temos
onde e é o elemento de área. Logo, para cada :
Fazendo ,

Passo 2

Para avaliar o integral radial use o item 4), que é a troca de variável t=pi r^2. Então
r^n-1,dr=12,pi^- n2t^ n2-1dt,
e
integral0^inftyr^n-1e^-pi r^2,dr =12,pi^- n2 integral0^inftyt^ n2-1e^-t,dt =12,pi^- n2,Gamma!l(tfrac n2r)

Passo 3

Pelo item 5) sabemos que
Substituindo o resultado do Passo 2 na expressão do Passo 1, obtemos
daí

Passo 4

Para o volume da bola unitária use de novo o item 3):
Substituindo do Passo 3 chega-se a

Resposta

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