Calcule
onde
é igual a:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
O enunciado traz várias funções e pede para calcular a derivada de cada uma: combinações de polinômios, funções trigonométricas, produtos e quocientes. Vamos usar as regras de derivação básicas: derivada de potência, derivada de funções trigonométricas, regra do produto e regra do quociente.
Passo 2
Para a parte (a), temos f(x)=3x^2+5\cos x. A derivada de x^2 é 2x; de \cos x é -\sin x. Logo: f’(x)=6x-5\sin x.
Passo 3
Na parte (b), f(x)=\frac{\cos x}{x^2+1}. Aplicamos a regra do quociente: (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2 com u=\cos x e v=x^2+1. Assim u’=-\sin x e v’=2x, resultando em f’(x)=\frac{-\sin x(x^2+1)-2x\cos x}{(x2+1)2}.
Passo 4
Na parte ©, f(x)=x\sin x. Usamos regra do produto: (xy)’=x’y+xy’. Aqui x’=1 e y’=\cos x. Então f’(x)=\sin x + x\cos x.
Passo 5
Na parte (d), f(x)=x^2\tan x. Pelo produto, x’=2x e (\tan x)’=\sec^2 x. Assim f’(x)=2x\tan x + x2\sec2 x.
Passo 6
Na parte (e), f(x)=\frac{x+1}{\tan x} e notamos que 1/\tan x=\cot x. Então f(x)=(x+1)\cot x. Derivando por produto: (x+1)’=1 e (\cot x)’=-\csc^2 x. Logo f’(x)=\cot x - (x+1)\csc^2 x.
Passo 7
Na parte (f), f(x)=4\sec x + \cot x. Derivamos cada termo: (\sec x)’=\sec x\tan x e (\cot x)’=-\csc^2 x. Ficando f’(x)=4\sec x\tan x - \csc^2 x.
Passo 8
Na parte (g), f(x)=\frac{\sec x}{3x+2}. Usando quociente com u=\sec x (u’=\sec x\tan x) e v=3x+2 (v’=3), obtemos f’(x)=\frac{\sec x\tan x(3x+2)-3\sec x}{(3x+2)^2} = \frac{\sec x\bigl((3x+2)\tan x-3\bigr)}{(3x+2)^2}.
Passo 9
Na parte (h), f(x)=\frac{x}{\operatorname{cossec}x} e lembramos que \operatorname{cossec}x=\csc x, então f(x)=x\sin x. Derivando como produto: f’(x)=\sin x + x\cos x.
Passo 10
Na parte (i), f(x)=x^2+3x\tan x. A derivada de x^2 é 2x e de 3x\tan x, pelo produto, é 3(\tan x + x\sec^2 x). Logo f’(x)=2x+3\tan x+3x\sec^2 x.
Passo 11
Na parte (j), f(x)=\sin x + x\cos x. Derivada de \sin x é \cos x; de x\cos x, pelo produto, é \cos x - x\sin x. Somando, f’(x)=2\cos x - x\sin x.
Passo 12
Na parte (k), f(x)=(x^3+\sqrt{x})\operatorname{cossec}x = (x3+x{1/2})\csc x. Pelo produto, derivada de x3+x{1/2} é 3x2+\tfrac12x{-1/2} e de \csc x é -\csc x\cot x. Assim f’(x)=(3x2+\tfrac12x{-1/2})\csc x - (x3+x{1/2})\csc x\cot x.
Passo 13
Na parte (l), f(x)=\frac{x+\sin x}{x-\cos x}. Aplicando quociente com u=x+\sin x (u’=1+\cos x) e v=x-\cos x (v’=1+\sin x), obtemos f’(x)=\frac{(1+\cos x)(x-\cos x)-(x+\sin x)(1+\sin x)}{(x-\cos x)^2}. Simplificando o numerador dá f’(x)=\frac{x(\cos x-\sin x)-(1+\cos x+\sin x)}{(x-\cos x)^2}.
Passo 14
Estas são todas as derivadas pedidas. Confere!
Resposta
(a) f’(x)=6x-5\sin x; (b) f’(x)=\dfrac{-\sin x(x^2+1)-2x\cos x}{(x2+1)2}; © f’(x)=\sin x+x\cos x; (d) f’(x)=2x\tan x+x2\sec2 x; (e) f’(x)=\cot x-(x+1)\csc^2 x; (f) f’(x)=4\sec x\tan x-\csc^2 x; (g) f’(x)=\dfrac{\sec x\bigl((3x+2)\tan x-3\bigr)}{(3x+2)^2}; (h) f’(x)=\sin x+x\cos x; (i) f’(x)=2x+3\tan x+3x\sec^2 x; (j) f’(x)=2\cos x-x\sin x; (k) f’(x)=(3x2+\tfrac12x{-1/2})\csc x-(x3+x{1/2})\csc x\cot x; (l) f’(x)=\dfrac{x(\cos x-\sin x)-(1+\cos x+\sin x)}{(x-\cos x)^2}