Considere a função f(x)=x1+x^2.
Determine os intervalos onde a função f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $ e descobrir em quais intervalos essa função é côncava para cima e para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a análise da segunda derivada da função para determinar a concavidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é concavidade. Uma função é côncava para cima quando sua segunda derivada é positiva nesse intervalo, e côncava para baixo quando a segunda derivada é negativa. Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de $ f(x) $ e ver onde ela é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ f(x) $. A função é dada por $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:
f(x)
Aqui, $ u = x $ e $ v = 1 + x^{2} $.
Calculando as derivadas:
f(x) = x1 + x^2
( uv )' = u'v - uv'v^2
Agora aplicamos a regra do quociente:
u = x

Passo 4

Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = \frac{1 - x^{2}}{(1 + x{2}){2}} $, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para analisar a concavidade.
Para derivar $ f’(x) $, novamente usamos a regra do quociente. Vamos chamar:
f'(x) = 1 - x^2(1 + x^2)^2
f''(x)
Primeiro, calculamos as derivadas de $ u $ e $ v $:
f'(x)
u = 1 - x^2
Aplicando a regra do quociente:
v = (1 + x^2)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador da expressão de $ f’’(x) $:
f''(x)
Podemos fatorar $ -2x(1 + x^{2}) $ do primeiro termo e $ -4x(1 - x^{2})(1 + x^{2}) $ fica como está:
-2x(1 + x^2)^2 - 4x(1 - x^2)(1 + x^2) = -2x(1 + x^2)^2 - 4x(1 - x^2)(1 + x^2)
Simplificando dentro dos colchetes:
-2x(1 + x^2)
Portanto, o numerador fica:
-4x(1 - x^2)(1 + x^2)
E o denominador é $ (1 + x{2}){4} $. Simplificando a fração:
= -2x(1 + x^2) [ (1 + x^2) + 2(1 - x^2) ]

Passo 6

Agora temos a segunda derivada simplificada:
f''(x) = -2x(3 - x^2)(1 + x^2)^3
Para determinar a concavidade, precisamos analisar onde $ f’’(x) > 0 $ (côncava para cima) e onde $ f’’(x) < 0 $ (côncava para baixo).
Vamos analisar o sinal de cada parte da fração:
  • O denominador $ (1 + x{2}){3} $ é sempre positivo, já que $ 1 + x^{2} > 0 $ para todo $ x $.
  • O numerador depende de $ -2x(3 - x^{2}) $.
Então, o sinal de $ f’’(x) $ é determinado pelo numerador $ -2x(3 - x^{2}) $:
f''(x) > 0
Vamos analisar isso:
  1. Quando $ x > 0 $:
    • $ -2x $ é negativo.
    • $ (3 - x^{2}) $ depende de $ x $:
      • Se $ x < \sqrt{3} $, então $ 3 - x^{2} > 0 $.
      • Se $ x > \sqrt{3} $, então $ 3 - x^{2} < 0 $.
    Portanto:
    • Para $ 0 < x < \sqrt{3} $: negativo f''(x) < 0 positivo = negativo.
    • Para $ x > \sqrt{3} $: negativo (1 + x^2)^3 negativo = positivo.
  2. Quando $ x < 0 $:
    • $ -2x $ é positivo.
    • $ (3 - x^{2}) $ é sempre positivo, já que $ x^{2} $ é positivo e $ 3 - x^{2} > 0 $ para $ |x| < \sqrt{3} $.
    Portanto:
    • Para $ x < 0 $: positivo 1 + x^2 > 0 positivo = positivo.

Passo 7

Resumindo os resultados acima:
  • Côncava para cima ($ f’’(x) > 0 $):
    • Para $ x < 0 $.
    • Para $ x > \sqrt{3} $.
  • Côncava para baixo ($ f’’(x) < 0 $):
    • Para $ 0 < x < \sqrt{3} $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $ é côncava para cima nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (\sqrt{3}, +\infty) $, e côncava para baixo no intervalo $ (0, \sqrt{3}) $.

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