Considere a função
.
Determine os intervalos onde a função
tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
Determine os intervalos onde a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $ e descobrir em quais intervalos essa função é côncava para cima e para baixo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a análise da segunda derivada da função para determinar a concavidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é concavidade. Uma função é côncava para cima quando sua segunda derivada é positiva nesse intervalo, e côncava para baixo quando a segunda derivada é negativa. Então, nosso objetivo é encontrar a segunda derivada de $ f(x) $ e ver onde ela é positiva ou negativa.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ f(x) $. A função é dada por $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui, $ u = x $ e $ v = 1 + x^{2} $.
Calculando as derivadas:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a primeira derivada $ f’(x) = \frac{1 - x^{2}}{(1 + x{2}){2}} $, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para analisar a concavidade.
Para derivar $ f’(x) $, novamente usamos a regra do quociente. Vamos chamar:
Primeiro, calculamos as derivadas de $ u $ e $ v $:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador da expressão de $ f’’(x) $:
Podemos fatorar $ -2x(1 + x^{2}) $ do primeiro termo e $ -4x(1 - x^{2})(1 + x^{2}) $ fica como está:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, o numerador fica:
E o denominador é $ (1 + x{2}){4} $. Simplificando a fração:
Passo 6
Agora temos a segunda derivada simplificada:
Para determinar a concavidade, precisamos analisar onde $ f’’(x) > 0 $ (côncava para cima) e onde $ f’’(x) < 0 $ (côncava para baixo).
Vamos analisar o sinal de cada parte da fração:
- O denominador $ (1 + x{2}){3} $ é sempre positivo, já que $ 1 + x^{2} > 0 $ para todo $ x $.
- O numerador depende de $ -2x(3 - x^{2}) $.
Então, o sinal de $ f’’(x) $ é determinado pelo numerador $ -2x(3 - x^{2}) $:
Vamos analisar isso:
-
Quando $ x > 0 $:
- $ -2x $ é negativo.
- $ (3 - x^{2}) $ depende de $ x $:
- Se $ x < \sqrt{3} $, então $ 3 - x^{2} > 0 $.
- Se $ x > \sqrt{3} $, então $ 3 - x^{2} < 0 $.
Portanto:- Para $ 0 < x < \sqrt{3} $: negativo
positivo = negativo. - Para $ x > \sqrt{3} $: negativo
negativo = positivo.
-
Quando $ x < 0 $:
- $ -2x $ é positivo.
- $ (3 - x^{2}) $ é sempre positivo, já que $ x^{2} $ é positivo e $ 3 - x^{2} > 0 $ para $ |x| < \sqrt{3} $.
Portanto:- Para $ x < 0 $: positivo
positivo = positivo.
Passo 7
Resumindo os resultados acima:
-
Côncava para cima ($ f’’(x) > 0 $):
- Para $ x < 0 $.
- Para $ x > \sqrt{3} $.
-
Côncava para baixo ($ f’’(x) < 0 $):
- Para $ 0 < x < \sqrt{3} $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $ é côncava para cima nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (\sqrt{3}, +\infty) $, e côncava para baixo no intervalo $ (0, \sqrt{3}) $.