Considere a função
.
Verifique que
e
.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $. O objetivo aqui é verificar as primeiras e segundas derivadas dessa função, ou seja, $ f’(x) $ e $ f’’(x) $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a regra do quociente para derivar funções que são divisão de duas outras funções. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que é $ f’(x) $. A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
No nosso caso, $ u(x) = x $ e $ v(x) = 1 + x^{2} $. Vamos derivar cada parte:
Agora aplicamos a regra:
Isso pode ser reescrito como:
Que é exatamente o que a gente queria verificar!
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada, $ f’’(x) $. Já que temos $ f’(x) = \frac{1 - x^{2}}{(1 + x{2}){2}} $, vamos derivar essa expressão novamente usando a regra do quociente.
Aqui, vamos chamar de $ u(x) = 1 - x^{2} $ e $ v(x) = (1 + x{2}){2} $. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando $ -2x(1 + x^{2}) $:
Portanto:
O que confirma a expressão dada para a segunda derivada!
Resposta
As derivadas encontradas são:
e
Isso confirma que as expressões fornecidas para $ f’(x) $ e $ f’’(x) $ estão corretas.