Considere a função f(x)=x1+x^2.
Verifique que f^prime(x)=-(x-1)(x+1)(x^2+1)^2 e f^prime prime(x)=2 x(x^2-3)(x^2+1)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} $. O objetivo aqui é verificar as primeiras e segundas derivadas dessa função, ou seja, $ f’(x) $ e $ f’’(x) $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a regra do quociente para derivar funções que são divisão de duas outras funções. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que é $ f’(x) $. A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
f(x)
No nosso caso, $ u(x) = x $ e $ v(x) = 1 + x^{2} $. Vamos derivar cada parte:
f'(x)
Agora aplicamos a regra:
u(x)v(x)
Isso pode ser reescrito como:
f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2
Que é exatamente o que a gente queria verificar!

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, $ f’’(x) $. Já que temos $ f’(x) = \frac{1 - x^{2}}{(1 + x{2}){2}} $, vamos derivar essa expressão novamente usando a regra do quociente.
Aqui, vamos chamar de $ u(x) = 1 - x^{2} $ e $ v(x) = (1 + x{2}){2} $. Calculando as derivadas:
f''(x)
Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 1 - x^2(1 + x^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
u(x) = 1 - x^2
Fatorando $ -2x(1 + x^{2}) $:
v(x) = (1 + x^2)^2
Portanto:
u'(x) = -2x e v'(x) = 2(1 + x^2) cdot 2x = 4x(1 + x^2)
O que confirma a expressão dada para a segunda derivada!

Resposta

As derivadas encontradas são:
f'(x) = -(x - 1)(x + 1)(1 + x^2)^2
e
f''(x) = 2x(x^2 - 3)(1 + x^2)^3
Isso confirma que as expressões fornecidas para $ f’(x) $ e $ f’’(x) $ estão corretas.

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