. Encontre
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Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis z(x,y)=4xy−x²−3y² e pede para encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Estamos no tópico de derivadas parciais e vamos precisar usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.
Passo 2
Para calcular ∂z/∂x, lembramos que derivada parcial em relação a x significa derivar cada termo de z que dependa de x, tratando y como constante. A regra é a mesma da derivada de uma função de uma variável.
Derivando termo a termo em relação a x:
• Para 4xy, y é constante, então ∂(4xy)/∂x = 4y.
• Para −x², ∂(−x²)/∂x = −2x.
• Para −3y², y é constante, então ∂(−3y²)/∂x = 0.
Somando esses resultados, obtemos
• ∂z/∂x = 4y − 2x.
Derivando termo a termo em relação a x:
• Para 4xy, y é constante, então ∂(4xy)/∂x = 4y.
• Para −x², ∂(−x²)/∂x = −2x.
• Para −3y², y é constante, então ∂(−3y²)/∂x = 0.
Somando esses resultados, obtemos
• ∂z/∂x = 4y − 2x.
Passo 3
Para calcular ∂z/∂y, agora derivamos em relação a y, tratando x como constante:
• Para 4xy, x é constante, então ∂(4xy)/∂y = 4x.
• Para −x², x é constante, ∂(−x²)/∂y = 0.
• Para −3y², ∂(−3y²)/∂y = −6y.
Somando, temos
• ∂z/∂y = 4x − 6y.
• Para 4xy, x é constante, então ∂(4xy)/∂y = 4x.
• Para −x², x é constante, ∂(−x²)/∂y = 0.
• Para −3y², ∂(−3y²)/∂y = −6y.
Somando, temos
• ∂z/∂y = 4x − 6y.
Resposta
As derivadas parciais são: