7- Considere a função
f(x)=2 x+3x+1
Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 2x + 3x + 1
e pede f'(x) e f''(x). Para isso, vamos usar a regra do quociente para obter f' e depois derivar novamente usando a regra da potência.

Passo 2

Seja u(x)=2x+3 e v(x)=x+1. A regra do quociente diz
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Como u'(x)=2 e v'(x)=1, temos
f'(x) = 2(x+1) - (2x+3)cdot 1(x+1)^2

Passo 3

No numerador fazemos a simplificação
2(x+1) - (2x+3) = 2x + 2 - 2x - 3 = -1,
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f'(x) = -1(x+1)^2

Passo 4

Para f''(x) escrevemos f'(x) = -1,(x+1)^-2 e aplicamos a regra da potência:
f''(x) = -1 cdot (-2),(x+1)^-3cdotl((x+1)'r) = 2,(x+1)^-3 = 2(x+1)^3

Resposta

f'(x) = -1(x+1)^2
f''(x) = 2(x+1)^3

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