8- Considere a função polinomial
f(x)=x^5-4 x^4+6 x^3-4 x^2+x
Determine f^prime prime prime(x), e calcule f^prime prime prime(1).

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
f(x)=x^5-4x^4+6x^3-4x^2+x
e pede a terceira derivada f'''(x) e seu valor em x=1. O conteúdo aqui é derivação de polinômios, usando a regra
(x^n)' = n,x^n-1
e a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas).

Passo 2

Para obter f'(x) derivamos cada termo de f(x):
  • (x^5)'=5x^4
  • (-4x^4)'=-4cdot4x^3=-16x^3
  • (6x^3)'=6cdot3x^2=18x^2
  • (-4x^2)'=-4cdot2x=-8x
  • (x)'=1
    Logo,
f'(x)=5x^4-16x^3+18x^2-8x+1

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para achar f''(x):
  • (5x^4)'=20x^3
  • (-16x^3)'=-48x^2
  • (18x^2)'=36x
  • (-8x)'=-8
  • (1)'=0
    Logo,
f''(x)=20x^3-48x^2+36x-8

Passo 4

Derivando uma vez mais para obter f'''(x):
  • (20x^3)'=60x^2
  • (-48x^2)'=-96x
  • (36x)'=36
  • (-8)'=0
    Então
f'''(x)=60x^2-96x+36

Passo 5

Para calcular f'''(1), substituímos x=1 em f'''(x):
f'''(1)=60cdot1^2-96cdot1+36=60-96+36=0

Resposta

f'''(x)=60x^2-96x+36 e f'''(1)=0.

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