• Considere a função
f(x)= a x+4 b & , se x>3 5 & se x=3 2 b-a x^2 & , se x<3
Determine os valores das constantes a e b tal que lim x 3 f(x) existe e seja igual a f(3).

Passo 1

O enunciado apresenta uma função definida por partes com parâmetros a e b e pede que limxto3f(x) exista e seja igual a f(3)=5. Isso equivale a garantir continuidade em x=3, ou seja, os limites laterais devem coincidir e valer 5.

Passo 2

Para o limite à direita, quando x>3 temos f(x)=a x+4b. Logo,
limxto3^+f(x)=3a+4b Queremos que isso seja 5, de modo que
3a+4b=5

Passo 3

Para o limite à esquerda, quando x<3 temos f(x)=2b -a x^2. Logo,
limxto3^-f(x)=2b-9a Igualando a 5,
2b-9a=5

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de duas equações:
3a+4b=5,-9a+2b=5 Multiplicando a segunda equação por 2:
-18a+4b=10, e subtraindo-a da primeira vezes 1:
(3a+4b)-( -18a+4b )=5-10
21a=-5
a=-5/21

Passo 5

Substituindo em 3a+4b=5:
3(-5/21)+4b=5
-5/7+4b=5
4b=5+5/7=40/7
b=10/7

Resposta

a=-521,;b=107

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