Determine os seguintes limites.
  • Seja f definida em R e tal que para todo x,|f(x)| <= x^6. Calcule lim x 0 x^-4 f(x) e justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0 x^-4 f(x), sabendo que a função f: Rto R satisfaz sempre |f(x)|<= x^6. O conteúdo principal aqui é limite de funções usando o teorema do confronto (teorema do sanduíche).

Passo 2

Usando a desigualdade dada, para xneq0 temos:
$$
|x^{-4}f(x)|=
\frac{|f(x)|}{|x|^4}
\le
\frac{x6}{|x|4}

|x|^2
$$

Passo 3

Agora aplicamos o teorema do confronto: como para todo x pequeno vale
-|x|^2<= x^-4f(x)<= |x|^2
e sabemos que limxto0|x|^2=0 e limxto0(-|x|^2)=0, então necessariamente
limxto0x^-4f(x)=0.

Resposta

0

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