Determine os seguintes limites.
Determine lim x 0 x^4 sen 4x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular limx to 0 x^4sin4x. O conteúdo envolvido é limites de funções com um fator oscilatório, e vamos precisar usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) junto com o fato de que sin(t) é limitado.

Passo 2

Sabemos que para todo tinR, vale -1 <= sin(t) <= 1. Substituindo t=tfrac4x, temos:
-1 <= sinl(tfrac4xr) <= 1

Passo 3

Multiplicando a desigualdade anterior por x^4, que é não-negativo quando xto0, obtemos:
-x^4 <= x^4sinl(tfrac4xr) <= x^4

Passo 4

Como limxto0 x^4 = 0 e limxto0(-x^4) = 0, as duas funções-limite que confrontam a expressão original tendem a zero.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, concluímos que:
limxto0 x^4sinl(tfrac4xr) = 0

Resposta

0

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