Responda:
(a) Existe f(-1) ?
(b) Existe lim x -1^+ f(x) ?
(c) lim x -1^+ f(x)=f(-1) ?
(d) Existe f(1) ?
(e) Existe lim x 1 f(x) ?
(f) lim x 1 f(x)=f(1) ?
(g) Existe lim x 0 f(x) ?
Passo 1
O enunciado define a função f por partes nos intervalos [-1,0), (0,1), 1, (1,2) e (2,3) e pede verificar a existência de valores e limites em pontos críticos. Para isso vamos usar substituição direta nos trechos onde f é dada por uma expressão contínua e, quando necessário, comparar limites laterais.
Passo 2
Para saber se existe f(-1), basta ver se o domínio inclui -1. O ramo x^2-1 vale para -1<= x<0, logo
f(-1)=(-1)^2-1=1-1=0
Portanto, existe f(-1) e vale 0.
Passo 3
Para calcular limxto-1^+f(x) aproximamo-nos de -1 pela direita, ainda no ramo f(x)=x^2-1. Assim,
limxto-1^+f(x) =limxto-1^+(x^2-1) =(-1)^2-1 =0,
logo esse limite existe e vale 0.
Passo 4
Comparando limxto-1^+f(x)=0 com f(-1)=0, vemos que são iguais, isto é,
limxto-1^+f(x)=f(-1)
Passo 5
O ponto x=1 está explicitamente no domínio, pois há o item “se x=1, f(x)=1”. Portanto existe f(1) e é
f(1)=1
Passo 6
Para limxto1f(x) precisamos dos limites esquerdo e direito. Pela esquerda (0<x<1) vale f(x)=2x, então
limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2
Pela direita (1<x<2) vale f(x)=-2x+4, então
limxto1^+f(x)=limxto1^+(-2x+4)=-2cdot1+4=2
Como os dois lados dão 2, o limite existe e é
limxto1f(x)=2
Passo 7
Comparando limxto1f(x)=2 com f(1)=1, vemos que são diferentes. Logo não vale limxto1f(x)=f(1).
Passo 8
Finalmente, para limxto0f(x) comparamos limites laterais: de x<0 (ramo x^2-1) vem
limxto0^-f(x)=0^2-1=-1,
e de x>0 (ramo 2x) vem
limxto0^+f(x)=2cdot0=0
Como -1neq0, o limite em 0 não existe.
Resposta
(a) Sim, existe e f(-1)=0.
(b) Sim, limxto-1^+f(x)=0.
(c) Sim, limxto-1^+f(x)=f(-1).
(d) Sim, existe e f(1)=1.
(e) Sim, limxto1f(x)=2.
(f) Não, limxto1f(x)neq f(1).
(g) Não, limxto0f(x) não existe.