Determine se as sequintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta sempre que possível.
(a) Se
não está definida em
, então
não existe.
(b) Se
então
poderia ser igual a 3 .
(c) Se
existe, então
e
existem e são iguais.
(d) Se
não existe, então
e
não existem.
(e) Se
e
existem, então
existe.
(f) O valor de
depende do valor de
.
(g) É possível que
exista mesmo que
não esteja definida em
.
(h) O limite
existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
(f) O valor de
(g) É possível que
(h) O limite
Passo 1
O enunciado traz oito afirmações sobre limites de funções de uma variável em um ponto
. O conteúdo é a definição de limite, limites laterais e a relação entre existência do limite e dos limites laterais. Vamos usar:
– A definição de não envolve o valor
.
– existe se, e somente se, tanto
quanto
existem e são iguais a
.
– A definição de
–
Passo 2
(a) “Se
não está definida em
, então
não existe.”
Isso é falso. A definição de limite só exige comportamento de para
próximo de
, não exige
. Exemplo:
Isso é falso. A definição de limite só exige comportamento de
Mesmo assim
existe.
Passo 3
(b) “Se
então
poderia ser igual a 3.”
Isso é falso. Quando o limite bidirecional existe e vale 2, as duas “metades” devem valer 2:
Isso é falso. Quando o limite bidirecional existe e vale 2, as duas “metades” devem valer 2:
Passo 4
(c) “Se
existe, então
e
existem e são iguais.”
Isso é verdadeiro. É parte da definição: existência do limite implica existência e igualdade dos limites laterais.
Isso é verdadeiro. É parte da definição: existência do limite implica existência e igualdade dos limites laterais.
Passo 5
(d) “Se
aí , mas o limite geral não existe.
Passo 6
(e) “Se
e
existem, então
existe.”
Isso é falso. É preciso também que sejam iguais. No exemplo do passo anterior, ambos existem mas são distintos, logo o limite bidirecional não existe.
Isso é falso. É preciso também que sejam iguais. No exemplo do passo anterior, ambos existem mas são distintos, logo o limite bidirecional não existe.
Passo 7
(f) “O valor de
depende do valor de
.”
Isso é falso. O limite considera apenas o comportamento de para
próximo a
, não importa quanto vale (ou se vale)
.
Isso é falso. O limite considera apenas o comportamento de
Passo 8
(g) “É possível que
exista mesmo que
não esteja definida em
.”
Isso é verdadeiro. É o caso clássico de ponto removível, onde definimos depois.
Isso é verdadeiro. É o caso clássico de ponto removível, onde definimos
Passo 9
(h) “O limite
existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais.”
Isso é verdadeiro. É exatamente a condição de existência de limite.
Isso é verdadeiro. É exatamente a condição de existência de limite.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V
(h) V
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V
(h) V