Determine se as sequintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta sempre que possível.
(a) Se f(x) não está definida em a, então lim x a f(x) não existe.
(b) Se lim x a f(x)=2 então lim x a^+ f(x) poderia ser igual a 3 .
(c) Se lim x a f(x) existe, então lim x a^- f(x) e lim x a^+ f(x) existem e são iguais.
(d) Se lim x a f(x) não existe, então lim x a^- f(x) e lim x a^+ f(x) não existem.
(e) Se lim x a^- f(x) e lim x a^+ f(x) existem, então lim x a f(x) existe.
(f) O valor de lim x a f(x) depende do valor de f(a).
(g) É possível que lim x a f(x) exista mesmo que f(x) não esteja definida em x=a.
(h) O limite lim x a f(x) existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais.

Passo 1

O enunciado traz oito afirmações sobre limites de funções de uma variável em um ponto a. O conteúdo é a definição de limite, limites laterais e a relação entre existência do limite e dos limites laterais. Vamos usar:
– A definição de limxto af(x)=L não envolve o valor f(a).
limxto af(x)=L existe se, e somente se, tanto limxto a^-f(x) quanto limxto a^+f(x) existem e são iguais a L.

Passo 2

(a) “Se f(x) não está definida em a, então limxto af(x) não existe.”
Isso é falso. A definição de limite só exige comportamento de f(x) para x próximo de a, não exige f(a). Exemplo:
f(x)=x, f(a) não definida ã
Mesmo assim limxto af(x)=a existe.

Passo 3

(b) “Se limxto af(x)=2 então limxto a^+f(x) poderia ser igual a 3.”
Isso é falso. Quando o limite bidirecional existe e vale 2, as duas “metades” devem valer 2:
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=2

Passo 4

(c) “Se limxto af(x) existe, então limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem e são iguais.”
Isso é verdadeiro. É parte da definição: existência do limite implica existência e igualdade dos limites laterais.

Passo 5

(d) “Se
, mas o limite geral não existe.

Passo 6

(e) “Se limxto a^-f(x) e limxto a^+f(x) existem, então limxto af(x) existe.”
Isso é falso. É preciso também que sejam iguais. No exemplo do passo anterior, ambos existem mas são distintos, logo o limite bidirecional não existe.

Passo 7

(f) “O valor de limxto af(x) depende do valor de f(a).”
Isso é falso. O limite considera apenas o comportamento de f(x) para x próximo a a, não importa quanto vale (ou se vale) f(a).

Passo 8

(g) “É possível que limxto af(x) exista mesmo que f(x) não esteja definida em x=a.”
Isso é verdadeiro. É o caso clássico de ponto removível, onde definimos f(a) depois.

Passo 9

(h) “O limite limxto af(x) existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais.”
Isso é verdadeiro. É exatamente a condição de existência de limite.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) V
(h) V

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