Considere a função f(x)=x+4x, definida para todo x neq 0.
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , assim como seus pontos de máximo e de mínimo (se os houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).

Passo 1

A função dada é f(x)=x+4x, definida para xneq0. Vamos usar derivadas para estudar onde ela cresce ou decresce e encontrar os extremos locais ou globais.

Passo 2

Para achar a derivada, aplicamos a regra ddx(x)=1 e ddx(4/x)=4cdotddx(x^-1)=-4x^-2. Assim, temos:
f'(x)=1-4x^2

Passo 3

Os pontos críticos surgem quando f'(x)=0 ou onde f' não existe (aqui em x=0, mas esse ponto não pertence ao domínio). Resolvendo:
1-4x^2=0Longrightarrow x^2=4Longrightarrow x=pm2

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos -2,0,2: para |x|>2 temos x^2>4 logo f'(x)=1-4/x^2>0, e para 0<|x|<2 vem x^2<4 logo f'(x)<0. Concluímos que a função
“é crescente em (-infty,-2) e em (2,infty);
é decrescente em (-2,0) e em (0,2).”

Passo 5

Em x=-2 a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local com f(-2)=-2+4-2=-4.
Em x=2 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local com f(2)=2+42=4.

Passo 6

Para verificar extremos globais, observamos que
"quando xto0^+ ou xto+infty, f(x)to+infty,
e quando xto0^- ou xto-infty, f(x)to-infty.
Logo, não há máximos ou mínimos absolutos, pois a função é não limitada acima nem abaixo.

Resposta

f é crescente em (-∞, -2) e (2, ∞); decrescente em (-2, 0) e (0, 2). Possui máximo local em x = -2 com f(-2) = -4 e mínimo local em x = 2 com f(2) = 4. Não há extremos absolutos.

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