Considere a função
, definida para todo
.
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , assim como seus pontos de máximo e de mínimo (se os houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , assim como seus pontos de máximo e de mínimo (se os houver), indicando se são absolutos (globais) ou relativos (locais).
Passo 1
A função dada é
, definida para
. Vamos usar derivadas para estudar onde ela cresce ou decresce e encontrar os extremos locais ou globais.
Passo 2
Para achar a derivada, aplicamos a regra
e
. Assim, temos:
Passo 3
Os pontos críticos surgem quando
ou onde
não existe (aqui em
, mas esse ponto não pertence ao domínio). Resolvendo:
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos
: para
temos
logo
, e para
vem
logo
. Concluímos que a função
“é crescente em e em
;
é decrescente em e em
.”
“é crescente em
é decrescente em
Passo 5
Em
a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local com
.
Em a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local com
.
Em
Passo 6
Para verificar extremos globais, observamos que
"quando ou
,
,
e quando ou
,
.
Logo, não há máximos ou mínimos absolutos, pois a função é não limitada acima nem abaixo.
"quando
e quando
Logo, não há máximos ou mínimos absolutos, pois a função é não limitada acima nem abaixo.
Resposta
f é crescente em (-∞, -2) e (2, ∞); decrescente em (-2, 0) e (0, 2). Possui máximo local em x = -2 com f(-2) = -4 e mínimo local em x = 2 com f(2) = 4. Não há extremos absolutos.