Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
Determine f(3) e todos os limites de f no ponto 3 .

Passo 1

A questão apresenta uma função por partes e pede para encontrar o valor f(3) e todos os limites de f no ponto x=3. O conteúdo envolvido é avaliação de função em ponto e cálculo de limites laterais e total em ponto de possível descontinuidade.

Passo 2

Para achar f(3), basta identificar o ramo que trata x=3. Como há o caso “se x=3 então f(x)=2”, temos f(3)=2.

Passo 3

Para estudar o limite quando x→3, olhamos valores próximos de 3 com x≠3. Esses valores satisfazem x≥1 e x≠3, portanto caem no ramo f(x)=−x+2.

Passo 4

Funções polinomiais são contínuas, logo se f(x)=−x+2 em torno de x=3, então tanto o limite pela esquerda quanto o limite pela direita são encontrados substituindo x=3 nessa expressão: ambos são −3+2=−1.

Passo 5

Como os dois limites laterais coincidem em −1, concluímos que o limite total existe e vale −1. Note que f(3)=2 difere desse valor, caracterizando descontinuidade no ponto 3.

Resposta

f(3)=2, limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=-1 e portanto limxto3f(x)=-1.

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