O enunciado quer a área da lemniscata dada por . O conteúdo principal é usar uma mudança de variável elíptica (semelhante a polares) para simplificar a curva em e , e depois aplicar integração dupla usando o Jacobiano adequado.
Passo 2
Para “desenrolar” essa curva, definimos a transformação
Nessa mudança vale . Substituindo na equação original obtemos
Logo, descartando ,
Passo 3
Precisamos do Jacobiano dessa transformação para área. Calculando o determinante da matriz jacobiana, achamos
Passo 4
Agora a área de um ramo (onde -pi/4<=theta<=pi/4) é
Arm ramo=integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=0^raizcos(2theta)6r,dr,dtheta
Fazendo a integral em r: integral0^raizcos(2theta)6r,dr=3cos(2theta)