Determine a área da lemniscata .

Passo 1

O enunciado quer a área da lemniscata dada por l(tfracx^24+tfracy^29r)^2=tfracx^24-tfracy^29. O conteúdo principal é usar uma mudança de variável elíptica (semelhante a polares) para simplificar a curva em r e theta, e depois aplicar integração dupla usando o Jacobiano adequado.

Passo 2

Para “desenrolar” essa curva, definimos a transformação
x=2rcostheta, y=3rsintheta
Nessa mudança vale x^2/4+y^2/9=r^2. Substituindo na equação original obtemos
r^4=r^2(cos^2theta-sin^2theta)=r^2cos(2theta)
Logo, descartando r=0,
r^2=cos(2theta),com cos(2theta)>=0,

Passo 3

Precisamos do Jacobiano dessa transformação para área. Calculando o determinante da matriz jacobiana, achamos
l|det Jr|=6r

Passo 4

Agora a área de um ramo (onde -pi/4<=theta<=pi/4) é
Arm ramo=integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=0^raizcos(2theta)6r,dr,dtheta
Fazendo a integral em r:
integral0^raizcos(2theta)6r,dr=3cos(2theta)
Então
$$A_{\rm ramo}=3\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos(2\theta),d\theta
=3\cdot\frac{1}{2}\Bigl[\sin(2\theta)\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4}=3.$$

Passo 5

Como a lemniscata tem dois ramos idênticos, a área total é o dobro de 3, ou seja, 6.

Resposta

6

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