Determine a área da regiâo
do plano
definida por
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região D definida pelas desigualdades x²+(y−2)² ≤ 4 (dentro do círculo de centro (0,2) e raio 2) e x²+y² ≥ 4 (fora do círculo de centro (0,0) e raio 2). Vamos usar geometria de interseção de círculos.
Passo 2
Plote mentalmente (ou desenhe): dois círculos de mesmo raio r=2 cujos centros estão a distância d=2. A região D é o pedaço do segundo círculo (centro em (0,2)) que não está dentro do primeiro (centro em (0,0)). Portanto, área(D)=área do disco centrado em (0,2) menos a área de interseção dos dois discos.
Passo 3
A área do disco de raio r=2 é
Passo 4
A área de interseção de dois círculos de mesmo raio r e distância entre centros d é dada por
Aqui r=2 e d=2, então d/(2r)=1/2 e
. Também
. Substituindo,
Passo 5
Finalmente,