Determine a área da regiâo D do plano x y definida por e .

Passo 1

O enunciado pede a área da região D definida pelas desigualdades x²+(y−2)² ≤ 4 (dentro do círculo de centro (0,2) e raio 2) e x²+y² ≥ 4 (fora do círculo de centro (0,0) e raio 2). Vamos usar geometria de interseção de círculos.

Passo 2

Plote mentalmente (ou desenhe): dois círculos de mesmo raio r=2 cujos centros estão a distância d=2. A região D é o pedaço do segundo círculo (centro em (0,2)) que não está dentro do primeiro (centro em (0,0)). Portanto, área(D)=área do disco centrado em (0,2) menos a área de interseção dos dois discos.

Passo 3

A área do disco de raio r=2 é
A2=pi r^2=4pi

Passo 4

A área de interseção de dois círculos de mesmo raio r e distância entre centros d é dada por
Aint=2r^2arccosl(tfracd2rr)-tfracd2raiz4r^2-d^2
Aqui r=2 e d=2, então d/(2r)=1/2 e arccos(1/2)=pi/3. Também raiz4r^2-d^2=raiz16-4=2raiz3. Substituindo,
Aint=2cdot4cdottfracpi3-tfrac22cdot2raiz3=tfrac8pi3-2raiz3

Passo 5

Finalmente,
Área(D)=A2-Aint=4pi - l(tfrac8pi3-2raiz3r)=tfrac4pi3+2raiz3 Á

Resposta

4pi3+2raiz3

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