Estabeleça as seguintes propriedades das potências: z neq 0, onde a e b e são números complexos quaisquer, sendo que todas as potências são valores principais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as três propriedades de potências complexas usando sempre o valor principal da potência. O conteúdo principal aqui é a definição de potência complexa via exponencial e logaritmo principal, ou seja, . Vamos usar as regras do exponencial e do logaritmo principal para cada identidade.

Passo 2

Precisamos provar que z^a z^b = z^a+b. Pela definição, temos
Multiplicando, e lembrando que z^a = expl(aLog zr), ,
Pela definição isso é exatamente
z^b = expl(bLog zr)

Passo 3

Agora a identidade z^-a=1/z^a. Usando de novo a definição,
Mas z^-a = expl((-a)Log zr) = expl(-aLog zr) , logo

Passo 4

Para mostrar que (z^a)^b = z^ab, primeiro escrevemos
Então
Como estamos usando o logaritmo principal, vale
(dentro da faixa principal de argumento). Logo,

Resposta

As propriedades valem: \
z^a z^b = z^{a+b}, \
z^{-a} = \tfrac{1}{z^a}, \
(za)b = z^{ab}.

Exercícios relacionados