Estabeleça as seguintes propriedades das potências:
, onde
e
e
são números complexos quaisquer, sendo que todas as potências são valores principais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as três propriedades de potências complexas usando sempre o valor principal da potência. O conteúdo principal aqui é a definição de potência complexa via exponencial e logaritmo principal, ou seja, . Vamos usar as regras do exponencial e do logaritmo principal para cada identidade.
Passo 2
Precisamos provar que
. Pela definição, temos
Multiplicando, e lembrando que
,
Pela definição isso é exatamente
Passo 3
Agora a identidade
. Usando de novo a definição,
Mas
, logo
Passo 4
Para mostrar que
, primeiro escrevemos
Então
Como estamos usando o logaritmo principal, vale
(dentro da faixa principal de argumento). Logo,
Resposta
As propriedades valem: \
z^a z^b = z^{a+b}, \
z^{-a} = \tfrac{1}{z^a}, \
(za)b = z^{ab}.
z^a z^b = z^{a+b}, \
z^{-a} = \tfrac{1}{z^a}, \
(za)b = z^{ab}.