Considere a função f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 x+6. Determine
a) Os pontos críticos
b) Intervalos de crescimento e decrescimento (utilizando derivada)
c) Concavidades e pontos de inflexão
d) Determine um esboço do gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão, se existirem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6
e pede:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) esboço do gráfico com os extremos locais e inflexão.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
f'(x)=3x^{2}-4x-5
e encontramos os pontos críticos resolvendo
3x^{2}-4x-5=0.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{16+60}}{6} =\frac{4\pm\sqrt{76}}{6} =\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}.

Passo 3

Para os intervalos de crescimento/decrescimento, analisamos o sinal de f'(x). Como
f'(x)=3\bigl(x-\tfrac{2-\sqrt{19}}{3}\bigr)\bigl(x-\tfrac{2+\sqrt{19}}{3}\bigr),
temos:
  • f'(x)>0 em x<\tfrac{2-\sqrt{19}}{3} e em x>\tfrac{2+\sqrt{19}}{3} (função crescente).
  • f'(x)<0 em \tfrac{2-\sqrt{19}}{3}<x<\tfrac{2+\sqrt{19}}{3} (função decrescente).

Passo 4

Calculamos a derivada segunda
f''(x)=6x-4.
Temos:
  • f''(x)<0 para x<\tfrac{2}{3}: concavidade para baixo.
  • f''(x)>0 para x>\tfrac{2}{3}: concavidade para cima.
    O ponto de inflexão ocorre em x=\tfrac{2}{3}, com
f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{3}-2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}-5\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)+6 =\frac{56}{27}.

Passo 5

Para o esboço, calculamos também os valores em cada crítico:
  • Em x_{1}=\tfrac{2-\sqrt{19}}{3}\approx-0{,}79:
    \,f(x_{1})\approx8{,}21 e f''(x_{1})<0, logo máximo local.
  • Em x_{2}=\tfrac{2+\sqrt{19}}{3}\approx2{,}12:
    \,f(x_{2})\approx-4{,}06 e f''(x_{2})>0, logo mínimo local.
    E o ponto de inflexão é \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{56}{27}\bigr)\approx(0{,}67,2{,}07).
    No esboço, a curva cúbica sobe à esquerda, atinge o máximo em (-0{,}79,8{,}21), desce até o mínimo em (2{,}12,-4{,}06) e sobe de novo, mudando de concavidade em (0{,}67,2{,}07).

Resposta

a) Pontos críticos em
x=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}.
b) Crescente em \bigl(-\infty,\tfrac{2-\sqrt{19}}{3}\bigr) e \bigl(\tfrac{2+\sqrt{19}}{3},\infty\bigr);
decrescente em \bigl(\tfrac{2-\sqrt{19}}{3},\tfrac{2+\sqrt{19}}{3}\bigr).
c) Concava para baixo em \bigl(-\infty,\tfrac{2}{3}\bigr), para cima em \bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr);
ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{56}{27}\bigr).
d) Máximo local em \bigl(\tfrac{2-\sqrt{19}}{3},\,f(\tfrac{2-\sqrt{19}}{3})\bigr)\approx(-0{,}79,8{,}21),
mínimo local em \bigl(\tfrac{2+\sqrt{19}}{3},\,f(\tfrac{2+\sqrt{19}}{3})\bigr)\approx(2{,}12,-4{,}06),
inflexão em (0{,}67,2{,}07), conforme descrito no esboço acima.

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