Considere a função
. Determine
a) Os pontos críticos
b) Intervalos de crescimento e decrescimento (utilizando derivada)
c) Concavidades e pontos de inflexão
d) Determine um esboço do gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão, se existirem.
a) Os pontos críticos
b) Intervalos de crescimento e decrescimento (utilizando derivada)
c) Concavidades e pontos de inflexão
d) Determine um esboço do gráfico destacando os valores de máximo, mínimo locais e pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) esboço do gráfico com os extremos locais e inflexão.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) esboço do gráfico com os extremos locais e inflexão.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira
e encontramos os pontos críticos resolvendo
As raízes são
Passo 3
Para os intervalos de crescimento/decrescimento, analisamos o sinal de
. Como
temos:
-
em e em (função crescente). -
em (função decrescente).
Passo 4
Calculamos a derivada segunda
Temos:
-
para : concavidade para baixo. -
para : concavidade para cima.
O ponto de inflexão ocorre em, com
Passo 5
Para o esboço, calculamos também os valores em cada crítico:
- Em
:
e , logo máximo local. - Em
:
e , logo mínimo local.
E o ponto de inflexão é.
No esboço, a curva cúbica sobe à esquerda, atinge o máximo em, desce até o mínimo em e sobe de novo, mudando de concavidade em .
Resposta
a) Pontos críticos em
b) Crescente em
e
;
decrescente em .
decrescente em
c) Concava para baixo em
, para cima em
;
ponto de inflexão em .
ponto de inflexão em
d) Máximo local em
,
mínimo local em ,
inflexão em , conforme descrito no esboço acima.
mínimo local em
inflexão em