(\mathbf{2 0 , 0}) Um tubo metálico com diâmetro externo igual a 60 mm que conduz um óleo aquecido é recoberto com uma espessura de 25 mm de isolante térmico com condutividade térmica k=0,05 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Sabendo que o coeficiente convectivo observado entre o material isolante e o ar é h=10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right), a emissividade da superfície externa desse material é \varepsilon=0,4 o o ar ambiente e a vizinhança estão a 20^{\circ} \mathrm{C} e que a temperatura da superfície externa do isolante é igual a 40^{\circ} \mathrm{C},
a) (10,0) calcule a taxa de transferência de calor por convecção, por metro de tubo, entre o isolamento térmico e o ar e, também, a taxa de transferência de calor por radiação, por metro de tubo, entre o isolamento térmico e a vizinhança.
b) (10,0) Qual é a temperatura da superfície interna da camada de isolante térmico?

Passo 1

Temos um tubo metálico de diâmetro externo \,D_i = 60\,\mathrm{mm}=0,06\,\mathrm{m} coberto por isolante de espessura e=25\,\mathrm{mm}=0,025\,\mathrm{m}. A face externa do isolante tem temperatura \,T_s=40^\circ\mathrm{C} e troca calor com o ar ambiente a T_\infty=20^\circ\mathrm{C} por convecção h=10\,\mathrm{W/(m^2K)} e por radiação \varepsilon=0,4.
Conteúdo: condução cilíndrica pelo isolante e convecção + radiação na superfície externa. Precisamos calcular:
a) \dot Q_{\rm conv} e \dot Q_{\rm rad} por metro de tubo;
b) temperatura da superfície interna do isolante.

Passo 2

Calcular a taxa de calor por convecção.
Diâmetro externo do isolante
D_o = D_i + 2\,e = 0,06 + 2\times0,025 = 0,11\;\mathrm{m}.
Área externa por metro de tubo
A = \pi\,D_o \times 1 = \pi\times0,11 = 0{,}3456\;\mathrm{m^2}.
Então
\dot Q_{\rm conv} = h\,A\,(T_s - T_\infty) = 10\times0{,}3456\times(40-20) =69{,}12\;\mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a taxa de calor por radiação usando Stefan–Boltzmann.
Temperaturas em Kelvin: \,T_s=40+273=313\,\mathrm{K}, \,T_\infty=20+273=293\,\mathrm{K}.
Constante \sigma=5,67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2K^4)}.
\dot Q_{\rm rad} = \varepsilon\,\sigma\,A\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr).
Calculando T_s^4 - T_\infty^4 \approx 2{,}223\times10^9\;\mathrm{K^4}, vem
\dot Q_{\rm rad} =0{,}4\times5{,}67\times10^{-8}\times0{,}3456\times2{,}223\times10^9 \approx17{,}4\;\mathrm{W}.

Passo 4

Temperatura na superfície interna do isolante.
O fluxo total é
\dot Q = \dot Q_{\rm conv} + \dot Q_{\rm rad} = 69{,}12 + 17{,}4 = 86{,}52\;\mathrm{W}.
Resistência de condução cilíndrica do isolante (por metro de tubo):
raio interno r_i = D_i/2 = 0,03\;\mathrm{m}, raio externo r_o = r_i + e = 0,055\;\mathrm{m},
R_{\rm cond} = \frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi\,k\,1} = \frac{\ln(0{,}055/0{,}03)}{2\pi\times0{,}05} \approx1{,}93\;\mathrm{K/W}.
Portanto a queda de temperatura do lado externo T_s=40^\circ\mathrm{C} até o lado interno T_i é
T_i - T_s = \dot Q \;R_{\rm cond} =86{,}52\times1{,}93 \approx166{,}8\;\mathrm{K},
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T_i = 40 + 166{,}8 \approx206{,}8^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) \dot Q_{\rm conv}\approx69{,}1\;\mathrm{W/m},\quad \dot Q_{\rm rad}\approx17{,}4\;\mathrm{W/m}.
b) Temperatura interna do isolante T_i\approx206{,}8^\circ\mathrm{C}.

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