Considere a função . Decida se é derivável em e calcule em caso afirmativo. Faça análise idêntica para a função , e calcule, se possível, .
Passo 1
Enunciado e conteúdo: precisamos verificar se a função é derivável em e calcular . Em seguida, repetir a mesma análise para com . O conteúdo é derivabilidade de funções definidas por partes, usando a definição de derivada como limite do quociente incremental.
Passo 2
Análise de : escrevemos em forma de partes
Como , aplicamos
Para :
Para h<0:
f(h)h=-h^2h=-hxrightarrowhto00
Como os limites laterais coincidem em 0, concluímos que f é derivável em 0 e f'(0)=0.
Passo 3
Análise de g(x)=x^n|x| com n>1: escrevemos em partes
g(x)=x^n+1,&x>=0,-x^n+1,&x<0
Como g(0)=0,
g'(0)=limhto0g(h)-g(0)h
Para h>0:
g(h)h=h^n+1h=h^nxrightarrowhto00 (pois n>1)
Para h<0:
g(h)h=-h^n+1h=-h^nxrightarrowhto00
Como também aqui os limites laterais coincidem em 0, g é derivável em 0 e g'(0)=0.
Resposta
Para ambas as funções f e g a derivada em 0 existe e vale zero: f'(0)=0 e g'(0)=0.