Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x0=0 e calcule f^prime(0) em caso afirmativo. Faça análise idêntica para a função g(x)=x^n|x|, n>1, e calcule, se possível, g^prime(0).

Passo 1

Enunciado e conteúdo: precisamos verificar se a função f(x)=x|x| é derivável em x0=0 e calcular f'(0). Em seguida, repetir a mesma análise para g(x)=x^n|x| com n>1. O conteúdo é derivabilidade de funções definidas por partes, usando a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Análise de f(x)=x|x|: escrevemos em forma de partes
f(x)=x^2,&x>=0,-x^2,&x<0
Como f(0)=0, aplicamos
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Para h>0:
f(h)h=h^2h=hxrightarrowhto00
Para h<0:
f(h)h=-h^2h=-hxrightarrowhto00
Como os limites laterais coincidem em 0, concluímos que f é derivável em 0 e f'(0)=0.

Passo 3

Análise de g(x)=x^n|x| com n>1: escrevemos em partes
g(x)=x^n+1,&x>=0,-x^n+1,&x<0
Como g(0)=0,
g'(0)=limhto0g(h)-g(0)h
Para h>0:
g(h)h=h^n+1h=h^nxrightarrowhto00 (pois n>1)
Para h<0:
g(h)h=-h^n+1h=-h^nxrightarrowhto00
Como também aqui os limites laterais coincidem em 0, g é derivável em 0 e g'(0)=0.

Resposta

Para ambas as funções f e g a derivada em 0 existe e vale zero: f'(0)=0 e g'(0)=0.

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