Considere a função f(x)=-xx^2+1 definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a f(x) em x=1.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = -xx^2+1
definida em R.
(a) Queremos a inclinação da reta tangente em x=1, ou seja, f'(1).
(b) Com esse valor de inclinação e o ponto l(1,f(1)r), montamos a equação da reta tangente.

Passo 2

Para achar f'(x) usamos a regra do quociente: se u(x)=-x e v(x)=x^2+1, então
f'(x) = l(tfracuvr)' = u'v - u,v'v^2
Aqui u'(x)=-1 e v'(x)=2x, logo
f'(x) = (-1)(x^2+1) - (-x)(2x)(x^2+1)^2 = -x^2 -1 +2x^2(x^2+1)^2 = x^2 -1(x^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
f'(1) = 1^2 -1(1^2+1)^2 = 0(2)^2 = 0
Logo a inclinação da reta tangente em x=1 é 0.

Passo 4

Precisamos também do ponto de tangência. Calculamos
f(1) = -11^2+1 = -12 = -tfrac12
Portanto o ponto é l(1,-tfrac12r).

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-declive é
y - y0 = m,(x - x0),
com m=0 e (x0,y0)=(1,-tfrac12). Substituindo,
y - l(-tfrac12r) = 0cdot(x - 1) Longrightarrow y + tfrac12 = 0 Longrightarrow y = -tfrac12

Resposta

(a) A inclinação é 0.
(b) A reta tangente é y=-tfrac12.

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