Resolva as equações diferenciais e represente as curvas integrais para pelo menos três valores da constante:
a) d yd x=sec ^2 y1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=sec^2 y1+x^2
Este é um problema de EDO separável: vamos isolar y de um lado e x do outro e usar integrais para encontrar a solução geral.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y multiplicando dy e todos os termos em x multiplicando dx:
sec^2 y,dy = dx1+x^2

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral sec^2 y,dy ;=;integral dx1+x^2
As integrais são conhecidas:
tan y = arctan x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Escrevendo de forma explícita, para a “folha” principal de yin(-tfracpi2,tfracpi2) temos
y(x)=arctanl(arctan x + Cr)
(Em geral poderia somar kpi, mas normalmente escolhe-se o ramo principal.)

Passo 5

Para visualizar as curvas integrais, fixamos três valores de C, por exemplo C=-1, C=0 e C=1. Assim as soluções particulares são:
y-1(x)=arctanl(arctan x -1r), y0(x)=arctanl(arctan xr), y1(x)=arctanl(arctan x +1r)
Cada uma é um gráfico suave em que, à medida que x varia, o valor de arctan x desloca o argumento da função arctan.

Resposta

A solução geral é
tan y = arctan x + C Long<=ftrightarrow y(x)=arctanl(arctan x + Cr)
As curvas integrais para C=-1,0,1 são
y(x)=arctanl(arctan x -1r), y(x)=arctanl(arctan xr), y(x)=arctanl(arctan x +1r)

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