Considere a função
f(x)=4 xx^2+1
Determine:
Domínio de f. Interseção com eixos. Possíveis assíntotas horizontais e verticais.

Passo 1

Estamos estudando a função f(x)=4xx^2+1. O objetivo é descobrir o domínio, os pontos onde ela cruza os eixos e suas possíveis assíntotas verticais e horizontais.

Passo 2

Para encontrar o domínio, verificamos quando o denominador se anula. O denominador é x^2+1, e como
x^2+1>=1>0,forall xinR,
ele nunca zera. Logo, não há restrição em x e o domínio é todo o conjunto R.

Passo 3

Para achar a interseção com o eixo y, avaliamos f(0):
f(0)=4cdot00^2+1=0
Portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,0).

Passo 4

Para a interseção com o eixo x, resolvemos f(x)=0:
4xx^2+1=0Longrightarrow 4x=0Longrightarrow x=0
Isso mostra que o eixo x também é cruzado em (0,0).

Passo 5

Assíntotas verticais ocorrem quando o denominador zera e o limite explode. Como x^2+1 nunca é zero, não existem assíntotas verticais.

Passo 6

Assíntotas horizontais são obtidas pelos limites em infinito. Para xto+infty e xto-infty:
limxtopminfty4xx^2+1=limxtopminfty4x+1/x=0
Logo, existe uma única assíntota horizontal, que é y=0.

Resposta

Domínio: R. Interseção com eixos: apenas em (0,0). Assíntotas verticais: nenhuma. Assíntota horizontal: y=0.

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