Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (pi, 0,1 / 3) e^y^2 tan (x z)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=e^y^2tan(xz) quando
(x,y,z)to(pi,0,1/3). O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e uso de continuidade.

Passo 2

Sabendo que as funções e^y^2 e tan(u) são contínuas onde estão definidas, podemos usar que o limite do produto é o produto dos limites. Ou seja,
lim(x,y,z)to(pi,0,1/3)e^y^2tan(xz)=l(lim(x,y,z)to(pi,0,1/3)e^y^2r)cdotl(lim(x,y,z)to(pi,0,1/3)tan(xz)r)

Passo 3

Calculamos primeiro
lim(x,y,z)to(pi,0,1/3)e^y^2=e^0^2=e^0=1
Em seguida, como xztopicdottfrac13=tfracpi3, temos
lim(x,y,z)to(pi,0,1/3)tan(xz)=tanl(tfracpi3r)=raiz3

Passo 4

Multiplicando os dois resultados pelo teorema do limite de produto, obtemos
1cdotraiz3=raiz3

Resposta

\sqrt{3}

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